PDF

Matematiikkaolympialaiset Koreassa

Koululaisten 41. kansainväliset matematiikkaolympialaiset, IMO 2000, pidettiin Korean Taejonissa, noin 200 km etelään Soulista, 13.-25. heinäkuuta 2000. Tavan mukaan kolmena ensimmäisenä päivänä paikalla oli vain tehtävät laativa joukkueiden johtajista koostuva kansainvälinen tuomaristo. Joukkueet saapuivat 16. heinäkuuta ja varsinaiset kilpailut pidettiin 19. ja 20. heinäkuuta. Kilpailupaikkana samoin kuin kilpailijoiden majapaikkana oli KAISTin, Korea Advanced Institute of Science and Technologyn kampus Taejonin liepeillä.

Joukkueiden ja kilpailijoiden määrä oli jälleen ennätyksellinen, vaikka IMO:n kasvuvauhti tuntuukin hidastuneen. Joukkueensa oli lähettänyt 82 maata (joukossa oli kyllä ei varsinaisesti itsenäisiä alueita kuten Hongkong, Macao ja Puerto Rico). Kilpailijoita oli 461. Kilpailun kaikin puolin onnistuneista järjestelyistä vastasi Korean Tiede- ja tekniikkaministeriön ja Korean Opetusministeriön tukemana Korean Matemaattinen yhdistys; järjestelytoimikunnan puheenjohtajana päävastuuta kantoi professori Sung Je Cho.

Tuomariston tehtävänlaadintakokoukset pidettiin Chonanissa, Soulin ja Taejonin puolivälissä. Kokouspaikkana oli Korean postilaitoksen moderni koulutuskeskus, joka sopi tarkoitukseen erinomaisesti. Tehtäväehdotuksia oli eri osallistujamaista saatu kaikkiaan 142, ja näistä 18-henkinen, puolalaisella Marcin Kuzmalla ja bulgarialaisella Svetoslav Savchevilla vahvistettu korealainen esivalintatoimikunta oli poiminut 27 ehdokasta tuomariston käsittelyyn. Perusteellisen pohdinnan jälkeen taejonilaisen professori Gyo Taek Jinin johtama tuomaristo päätyi valitsemaan sarjan, jonka ensimmäinen ja viimeinen tehtävä edustivat klassista tasogeometriaa, viides oli puhdaspiirteinen lukuteorian tehtävä, johon oli lähes perinteeksi muodostuneen tavan mukaan myös upotettu kilpailun vuosiluku, toinen etukäteen liiankin helpoksi arvioitu epäyhtälö, neljäs kombinatorista päättelyä edellyttänyt ja kolmas lähinnä matemaattiseksi analyysiksi luokiteltava. Valinnan jälkeen ilmeni, että tehtävistä peräti kolme (1, 5 ja 6) oli Venäjän ehdottamia, muut Yhdysvalloista (2), Valko-Venäjältä (3) ja Unkarista (4). Kirjoittaja ei muista, että näin suuri osuus tehtävistä olisi koskaan ollut yhdestä maasta lähtöisin.

Kilpailujen avajaiset pidettiin 18.7. Taejonissa. Avajaisia kunniotti läsnäolollaan ja puheellaan kilpailujen suojelija, Korean pääministeri Han Dong Lee, joka saapui avajaispaikalle helikopterillaan. Kilpailut pidettiin 19.7. ja 20.7., ja tulokset saatiin valmiiksi Kansallisessa Chugnam-yliopistossa pidettyihin päättäjäisiin 24.7. Kilpailijat tekivät retkiä Korean Folk Village -museoon Soulin lähelle ja Kyungjuun Korean itärannikolle. Alkuperäisestä ohjelmasta poiketen kilpailijat kävivät myös Soulissa Korean presidentin erikoisvieraina. KAISTin kampuksella pidetty loppuillallinen huipentui loistavaan ilotulitukseen. Tuomariston työ ei juuri antanut mahdollisuuksia turismiin.

Kilpailun tehtävät osoittautuivat vaikeiksi. Maksimipisteet 42 annettiin kuitenkin neljälle kilpailijalle, Kiinan Zhiwei Yunille, Valkovenäjän Alexandr Usnichille ja Venäjän Aleksei Poiarkoville ja Alexander Gaifoullinelle. Kultamitaliin oikeuttavan parhaan 1/12-osan muodostivat ainakin 30 pistettä saaneet, seuraava kuudennes eli hopemitalilla palkittavien osuus muodostui ainakin 21 pistettä saaneista, ja jo 11 pisteen suoritus merkitsi parempaan puolikkaaseen eli pronssimitalikategoriaan pääsyä. Viime vuonna vastaavat pisterajat olivat 28, 19 ja 12.

Pistekeskiarvoilla mitaten helpoin tehtävä oli numero 1 (keskiarvo 4,1), sitten 4 (3,2), 2 (2,8), 5 (1,6), 6 (1,0) ja 3 (0,7). Kilpailun menestyjien, kultamitalin saajien, vastaava järjestys on 1 (7, kaikilla siis täydet pisteet!), 5 (6,6), 2 (6,5), 4 (6,2), 6 (4,6) ja 3 (3,5). Luvuista voi päätellä valmennuksen merkitystä: helppo geometrian tehtävä 1 on harjoitelleelle rutiinia, samoin melko standardi lukuteoreettinen tehtävä ja epäyhtälö, mutta olennaisesti vain oivallusta vaatinut tehtävä 4 on menestyjien listalla sijoitukseltaan alempana kuin kaikilla osallistujilla.

Maiden paremmuutta ei matematiikkaolympialaisissa virallisesti mitata, epävirallisesti sitäkin innokkaammin. Parhaan yhteispistemäärän kokosi Kiina, seuraavina Venäjä, Yhdysvallat, Korea, Vietnam, Bulgaria, Valko-Venäjä, Taiwan, Unkari ja Iran.

Suomen joukkue oli valittu perinteisin kuvioin. Valinnasta ja valmennuksesta vastasi Suomen matemaattisen yhdistyksen valmennusjaoston työryhmä Matti Lehtinen, Kerkko Luosto, Jari Lappalainen ja Jouni Seppänen. Toimintaa Päivölässä koordinoivat lisäksi Kullervo Nieminen ja Merikki Lappi. MAOLin lukiokilpailun kaksi kierrosta ja 14. Pohjoismainen matematiikkakilpailu huhtikuussa yhdessä valmennusvastausten ja Päivölän Opiston matematiikkaviikonloppujen kanssa olivat pohjana, kun toukokuiselle valinta- ja valmennusleirille Päivölän Opistoon Valkeakoskelle koottiin kymmenkunta osallistujakandidaattia. Neljä valintakoetta muun informaation lisäksi johtivat lopulta yksiselitteiseen valintaan: Suomea edustivat Anne-Maria Ernvall Turusta, Mikko Harju Kirkkonummelta, Riikka Korte Helsingistä, Teemu Murtola Joensuusta (Päivölästä), Jarkko Pyy Halikosta ja Johanna Tikanoja Pyhäjärveltä (Päivölästä). Joukkueen johtajana ja samalla kansainvälisen tuomariston jäsenenä toimi Matti Lehtinen, ja joukkueen varajohtajana oli Jari Lappalainen.

Joukkueen suoritus oli varsin tyydyttävä. Edellisen vuoden yksi hopeamitali vaihtui nyt kolmeksi pronssimitaliksi, jotka saivat Riikka Korte, Mikko Harju ja Anne-Maria Ernvall. Teemu Murtola palkittiin lisäksi kunniamaininnalla. Kyseessä oli ensimmäinen kerta Suomen matematiikkaolympialaisosallistumisen historiassa, kun tyttöoppilas sai mitalin. Joukkueen yhteispistemäärä 52 oikeutti sijaan 52. Todettakoon, että Ruotsin sijoitus oli 31., Norjan 56., Viron 57., Islannin 60. ja Tanskan 61.

Suomalaisten pahimmaksi kompastuskiveksi muodostui taas kerran geometria. Vaikeampi tehtävä 6 tuotti Suomelle 2 pistettä, helpompi ensimmäinen tehtävä 11. Eniten pisteitä Suomi sai kombinatorisesta tehtävästä 4. On entistä ilmeisempää, että geometrian kunnollisen koulupohjan puuttuessa ainoa tie matematiikkaolympialaisten tuloslistan alkupäähän voisi kulkea todella intensiivisen ja pitkäkestoisen geometrian tehovalmennuksen kautta. Myös lukuteorian rutiini tulisi luoda harjoituksella. Vain päättelyä edellyttävissä tehtävissä ero kärkeen ei ole dramaattinen.

Seuraavat matematiikkaolympialaiset pidetään Washingtonissa Yhdysvalloissa 1.-14. heinäkuuta 2001. Sen jälkeen matematiikkaolympialaiset järjestää ennakkotiedoista poiketen Iso-Britannia. Japani on vuorossa vuonna 2003 ja Kreikka vuonna 2004.

Matti Lehtinen

41. kansainväliset matematiikkaolympialaiset

Joukkueiden yhteispisteet

Sulkeissa oleva luku maan nimen jälkeen osoittaa, että joukkueessa oli vähemmän kuin 6 kilpailijaa.

1.	Kiina	218

29.	Bosnia	78

57.	Norja	45

2.	Venäjä	215

	Thaimaa	78

58.	Viro	42

3.	Yhdysvallat	184

31.	Ruotsi	77

59.	Trinidad	40

4.	Korea	172

32.	Puola	75

60.	Islanti	37

5.	Bulgaria	169

	Meksiko	75

61.	Tanska	36

	Vietnam	169

34.	Kroatia	73

62.	Uusi-Seelanti	34

7.	Valko-Venäjä	165

	Slovenia	73

	Liettua	34

8.	Taiwan	164

36.	Georgia	72

64.	Azerbaidzan	32

9.	Unkari	156

37.	Singapore	71

	Kypros	32

10.	Iran	155

38.	Uzbekistan	70

	Peru (4)	32

11.	Israel	139

39.	Itävalta	68

	Malesia (3)	32

	Romania	139

40.	Sveitsi (4)	67

68.	Espanja	29

13.	Ukraina	135

	Mongolia	67

69.	Irlanti	28

14.	Intia	132

42.	Tsekinmaa	65

70.	Uruguay (3)	23

15.	Japani	125

43.	Makedonia	63

	Filippiinit (4)	23

16.	Australia	122

44.	Kolumbia	61

72.	Sri Lanka (3)	21

17.	Kanada	112

	Kuuba	61

	Portugali	21

18.	Turkki	111

46.	Hollanti	60

74.	Equador	19

	Slovakia	111

	Latvia	60

75.	Albania	17

20.	Armenia	108

48.	Ranska	58

76.	Kirgisia (4)	16

	Saksa	108

	Brasilia	58

	Macao	16

22.	Iso-Britannia	96

50.	Italia	57

78.	Kuwait (4)	12

23.	Jugoslavia	93

51.	Indonesia	54

79.	Guatemala	11

24.	Kazakstan	91

52.	Suomi	52

	Venezuela (2)	11

25.	Argentiina	88

53.	Belgia	51

81.	Brunei (2)	8

26.	Moldova (5)	84

	Luxemburg (4)	51

	Puerto Rico	8

27.	Etelä-Afrikka	81

55.	Marokko	48

28.	Hongkong	80

56.	Kreikka	46

41. kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät

1. Ympyrät $\Gamma_1$ ja $\Gamma_2$ leikkaavat toisensa pisteissä M ja N. Olkoon l se $\Gamma_1$:n ja $\Gamma_2$:n yhteinen tangentti, joka on lähempänä M:ää kuin N:ää. Suora l sivuaa $\Gamma_1$:tä pisteessä A ja $\Gamma_2$:ta pisteessä B. Pisteen M kautta kulkeva l:n suuntainen suora leikkaa ympyrän $\Gamma_1$ myös pisteessä C ja ympyrän $\Gamma_2$ myös pisteessä D. Suorat CA ja DB leikkaavat pisteessä E; suorat AN ja CDleikkaavat pisteessä P; suorat BN ja CDleikkaavat pisteessä Q. Osoita, että EP=EQ.

2. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja ja olkoon abc=1. Todista, että

$$\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+ \frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\le 1.$$

3. Olkoon $n\ge 2$ positiivinen kokonaisluku. Vaakasuoralla suoralla on n kirppua, jotka eivät kaikki ole samassa pisteessä. Olkoon $\lambda$ positiivinen reaaliluku. Määritellään siirtymä seuraavasti: valitaan jotkin kaksi kirppua, jotka ovat pisteissä A ja B, A B:n vasemmalla puolella; annetaan A:ssa olevan kirpun hypätä siihen B:n oikealla puolella olevaan suoran pisteeseen C, jolle $BC/AB=\lambda$. Määritä kaikki sellaiset $\lambda$:n arvot, joilla kaikki kirput voivat siirtyä mistä hyvänsä alkuasemasta minkä hyvänsä pisteen Moikealle puolelle äärellisen monen siirtymän avulla.

4. Taikurilla on sata korttia, jotka on numeroitu 1:stä 100:aan. Taikuri sijoittaa kortit kolmeen rasiaan, punaiseen, valkoiseen ja siniseen, niin että joka rasiassa on ainakin yksi kortti. Eräs katsojista valitsee rasioista kaksi, ottaa kummastakin rasiasta yhden kortin ja kertoo valituissa korteissa olevien numeroiden summan. Kuultuaan summan taikuri ilmoittaa, mistä rasiasta ei ole otettu kortteja. Monellako tavalla kortit voidaan sijoittaa rasioihin niin, että kuvattu temppu aina onnistuu? (Kahta sijoittelua pidetään eri sijoitteluina, jos niissä ainakin yksi kortti on eri rasiassa.)

5. Selvitä, onko olemassa positiivista kokonaislukua n, jolle n on jaollinen tasan 2000:lla eri alkuluvulla ja 2ⁿ+1 on jaollinen n:llä.

6. Olkoot AH₁, BH₂ ja CH₃ teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanat. Kolmion ABC sisään piirretty ympyrä sivuaa sivuja BC, CA ja ABpisteissä T₁, T₂ ja T₃, tässä järjestyksessä. Olkoot suorat l₁, l₂ ja l₃suorien H₂H₃, H₃H₁ ja H₁H₂ peilikuvat suorien T₂T₃, T₃T₁ja T₁T₂ yli suoritetuissa peilauksissa (tässä järjestyksessä). Todista, että l₁, l₂ ja l₃ määrittävät kolmion, jonka kärjet ovat kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän kehällä.