PDF

Eräs (kakkosen) potenssien erikoisuus

On olemassa kakkosen potensseja, jotka alkavat ykkösellä kuten 2⁴=16 tai 2⁷=128, kakkosella kuten 2¹=2, 2⁸=256 tai 2¹¹=2048, kolmosella kuten 2⁵=32. Mutta onko kakkosen potenssia, jonka ensimmäinen numero on 7? Entä kakkosen potenssia, jonka ensimmäiset numerot ovat 2000?

Laskimella tai sopivalla laskentaohjelmalla voi tehdä kokeita. Esimerkiksi luku 2⁴⁶=70368744177664 on pienin kakkosen potenssi, joka alkaa seitsemällä, ja pienin kaksinumeroinen luku, joka ei esiinny lukua 2¹⁰⁰ pienempien kakkosen potenssien kahtena ensimmäisenä numerona on 44 (mutta

2¹⁴⁵=44601490397061246283071436545296723011960832

alkaa 44:llä).

Kokeilemalla saattaisi löytyä vastaus ensimmäisen kappaleen viimeiseenkin kysymykseen, mutta laskeminen saattaisi olla toivottoman työlästä. Matematiikassa voidaan kuitenkin usein vastata myöntävästi muotoa "onko tyyppiä T olevaa asiaa olemassa?" olevaan kysymykseen ilman, että yhtään tyyppiä T olevaa asiaa konkreettisesti havaitaan. Tällä kertaa voidaan osoittaa seuraava väite on todeksi: annettakoon mikä hyvänsa numerosarja $abcd\dots kl$, niin on olemassa kakkosen potenssi, jonka ensimmäiset numerot ovat kyseiset $abcd\dots kl$.

Tämä väite tulee todistetuksi, kun näytetään toteen, että olipa A mikä positiivinen kokonaisluku hyvänsä, löytyvät eksponentit n ja t siten, että

$$A\cdot 10^t\le 2^n<(A+1)\cdot 10^t.$$

Tällöin nimittäin luku 2ⁿ alkaa numerosarjalla A. Kymmenkantaisten logaritmien avulla epäyhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa

$$t+\log A\le n\log 2<t+\log(A+1).\eqno(1)$$

Todistamme, että epäyhtälöt (1) toteuttavia lukuja n ja t on olemassa. Tätä varten merkitsemme $v=\log A$ ja $u=\log(A+1)$. Silloin

$$u-v=\log(A+1)-\log A=\log\left(\frac{A+1}{A} \right)=\log\left(1+\frac{1}{A}\right)\le \log 2<1.$$

Tarkastellaan lukujen $\log 2^n=n\log 2$ desimaaliosia. Käytetään näistä merkintää d(n). Todistetaan, että nämä desimaaliosat ovat kaikki erisuuria. Jos nimittäin joillain i ja j olisi d(i)=d(j) eli lukujen $i\log 2$ ja $j\log 2$ desimaaliosat olisivat samat, niin $(i-j)\log 2$ olisi kokonaisluku ja $\log 2$ olisi kahden kokonaisluvun osamäärä eli rationaaliluku. Olisi siis $\log 2=\frac{p}{q}$, $q\log 2=\log 2^q=p$ ja 2^q=10^p. Viimeinen yhtälö on kuitenkin päivänselvästi mahdoton, koska sen oikea puoli on viidellä jaollinen luku, mutta vasen puoli ei.

Koska kaikilla n on 0<d(n)<1 ja eri lukuja d(n) on äärettömän monta, lukujen joukossa täytyy olla sellaisia, joiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin u-v. Olkoot d(s) ja d(s+r), missä r>0, kaksi tällaista lukua. Ruvetaan tarkastelemaan lukuja d(s), d(s+r), d(s+2r), d(s+3r), .... Jonon peräkkäisten lukujen erotus on joko |d(s+r)-d(s)| tai 1-|d(s+r)- d(s)|. (Jälkimmäinen tilanne tulee, jos peräkkäisistä luvuista toinen sattuu olemaan lähellä ykköstä ja toinen lähellä nollaa.) Luvut d(s+jr) seuraavat toisiaan muuten tasavälisesti, lukua u-vpienemmin välein, paitsi että ne hyppäävät joskus läheltä nollaa lähelle ykköstä tai päinvastoin, kumpaan suuntaan nyt sattuvatkaan kasvamaan. Niiden ääretön jono ei silloin voi sivuuttaa mitään (u-v):n pituista väliä. Jonkin niistä, sanokaamme luvun d(s+kr), on pakko osua myös lukujen $\log A$ ja $\log(A+1)$desimaaliosien väliin (tai jos $\log A$:n ja $\log(A+1)$:n välissä sattuu olemaan kokonaisluku, $\log A$:n desimaaliosan ja ykkösen tai nollan ja $\log(A+1)$:n desimaaliosan väliin). Mutta tämä merkitsee, että jos merkitään n=s+kr, niin on olemassa kokonaisluku t siten, että (1) toteutuu.

Jos tätä todistusta ryhtyy tarkemmin miettimään, huomaa, että luvun 2 ominaisuuksia ei käytetty muuten hyväksi kuin siinä, että yhtälö 2^q=10^p osoittautui mahdottomaksi. Tästä seuraa, että jos m ei ole kymmenen potenssi (jonka kaikki potenssit alkavat ykkösellä!), niin jokaista ajateltavissa olevaa numerosarjaa kohden on olemassa jokin tällä numerosarjalla alkava m:n potenssi.

Todistuksia, jotka yllä kerrottuun tapaan varmistavat jonkin asian olemassa olevaksi kertomatta kuitenkaan, miten tällainen asia löydetään, sanotaan olemassaolotodistuksiksi. Olemassaolotodistus synnyttää lisäkysymyksiä ja tutkimisen tarvetta. Jos löydät kakkosen tai jonkin muun luvun potensseista mielenkiintoista, kerro Solmulle!

Matti Lehtinen

Solmu 3/1999-2000
2000-03-03