Geometriakulma: Mikä on käyrä?

Käyräksi tuntuisi luontevalta kutsua viivaa, jonka voi piirtää kynää paperista nostamatta. Matemaattiseksi määritelmäksi tämä ei kumminkaan kelpaa: kynä, paperi, piirtäminen ovat konkreettisia asioita, joita ainakaan moderni matematiikka ei määrittelyn pohjaksi kelpuuta.

Kun tasoon sijoitetaan suorakulmainen xy-koordinaatisto, voisi käyrän määritelmäksi ottaa yhtälön: ne pisteet (x,y), jotka toteuttavat muotoa F(x,y) = 0 olevan yhtälön, muodostavat käyrän. Kahden muuttujan funktiolta F täytyy tällöin olettaa jonkinlaista säännöllisyyttä, ainakin jatkuvuutta. Esimerkiksi yhtälö x² + y² - 1 = 0 esittää origokeskistä ympyrää, jonka säde on = 1.

Tälläkin määritelmällä on heikkoutensa. Vaikka F olisikin säännöllinen funktio, ei yhtälö välttämättä esitä yhtään mitään: x² + y² + 1 = 0. Tai se voi esittää yhtä pistettä: x² + y² = 0. Lukija tutkikoon, mitä esittää yhtälö

25 + 10x + 2x² + 2x³ + x⁴ - 10y - 20xy - 2x²y + 2y² + 2xy² + 2x²y² - 2y³ + y⁴ = 0.

Vihjeeksi: Yhtälön vasemman puolen voi jakaa tekijöihin. Jos ei käsinlasku onnistu, niin matemaattisten ohjelmien - Mathematica, Maple, Derive, jne. - tekijöihinjako- eli faktorointialgoritmit ovat varsin hyviä.

Määritelmässä on toinenkin heikkous: Se antaa pikemminkin pistejoukon kuin käyrän. Kahdesta käyrän pisteestä tulisi nimittäin voida sanoa, kumpi on käyrää pitkin kuljettaessa lähempänä alkupistettä. Määrittely yhtälön avulla ei aseta pisteitä järjestykseen.

Parempi käyrän määritelmä saadaan vetoamalla ns. parametriesitykseen: Olkoon annettuna funktiot x(t) ja y(t). Kun parametri t käy läpi jonkin reaaliakselin välin [a,b] (joka voi myös olla koko akseli, puoliääretön väli $[a,\infty[$, tms.), niin vastaavat funktioiden arvot antavat käyrän pisteet (x(t),y(t)). Pisteille saadaan tällöin järjestys: Jos t₁ < t₂, niin piste (x(t₁),y(t₁)) on ennen pistettä (x(t₂),y(t₂)).

Funktioilta x(t) ja y(t) täytyy edellyttää riittävästi säännöllisyyttä, vähintäänkin jatkuvuus. Tämä vastaa intuitiivista käsitystä, että käyrä täytyy voida piirtää kynää paperista nostamatta. Jatkuvuus ei kuitenkaan riitä. Esimerkiksi jos funktiot ovat vakiofunktioita, niin saadaan vain yksi piste, eikä tällaista ehkä ole luontevaa kutsua käyräksi. Itse asiassa matemaattisessa kirjallisuudessa käyrän määritelmät jossain määrin vaihtelevat: Funktioilta edellytetään ainakin jatkuvuus, mutta usein enemmän.

Esimerkiksi:

1.

Jos $x(t) = R\cos t$, $y(t) = R\sin t$, $0 \le t \le 2\pi$, niin käyrä on origokeskinen R-säteinen ympyrä.

2.

Funktiot $x(t) = a\cos t$, $y(t) = b\sin t$, $0 \le t \le 2\pi$, määrittävät tavallisen ellipsin x²/a² + y²/b² = 1.

3.

Käyrä $x(t) = a\cos^3 t$, $y(t) = b\sin^3 t$, $0 \le t \le 2\pi$, on nimeltään asteroidi.

4.

$x(t) = a(t - \sin t)$, $y(t) = a(1 - \cos t)$, $t \in \mathbb R$, on sykloidi.

5.

Suora on käyrän erikoistapaus; vaikkapa x(t) = 1 + 2t, y(t) = 3 + 4t, $t \in \mathbb R$.

Käyrän muotoa F(x,y) = 0 olevaan yhtälöön päästään eliminoimalla parametri t yhtälöistä x = x(t), y = y(t) algebrallisella manipuloinnilla. Aina tämä ei tietenkään onnistu. Lukija johtakoon yhtälön edellä esitetyissä asteroidin ja suoran tapauksissa ja pohtikoon, miten käy sykloidin tapauksessa. Lukija myös piirtäköön ainakin asteroidin ja sykloidin.

Määritelmä parametriesityksenä samastaa käyrän ja funktiot x(t), y(t). Toisaalta sama pistejoukko voidaan saada erilaisilla funktioiden valinnoilla. Edellä mainitun suoran pisteet saadaan myös parametriesityksestä x(t) = 1 + 2t³, y(t) = 3 + 4t³ tai jopa x(t) = 1 + 2(t³ - t), y(t) = 3 + 4(t³ - t). Mikä oleellinen ero on viimeksi mainitun ja kahden muun välillä?

Parametriesityksen käyttö antaa helpon tavan yleistää käyrän määritelmä kolmiulotteiseen avaruuteen: Avaruuskäyrä määräytyy parametriesityksestä x(t), y(t), z(t), missä $t \in [a,b]$. Yksinkertainen esimerkki on

$$x(t) = a \cos t, \quad y(t) = a \sin t, \quad z(t) = \frac{t}{2\pi}, \quad t \in \mathbb R.$$

Ympyrän parametriesityksen perusteella on pääteltävissä, että parametrin t kasvaessa tämän käyrän pisteet kiertävät xy-tason origokeskisen a-säteisen ympyrän ala- tai yläpuolella ja ovat sitä korkeammalla, mitä suurempi arvo parametrilla t on. Käyrän nimi onkin kuvaava: ruuviviiva.

Esimerkkejä erilaisista käyristä lukija löytää osoitteesta
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/Curves/Curves.html .

Lopuksi käänteinen harjoitustehtävä: Seuraavat kuvat esittävät kahta tasokayrää ja kahta avaruuskäyrää. Tehtävänä on kehitellä niille mahdollisimman hyvät parametriesitykset (jotka eivät suinkaan ole yksikäsitteisiä).

Vihjeeksi seuraavaa: 1) Käyrässä on jaksollisuutta, joten parametriesityksessä kannattaa käyttää sinejä ja kosineja. 2) Polynomeilla päästään pitkälle: osoittajaan tai nimittäjään. 3) Kyseessä on eräänlainen ruuviviiva, on vain löydettävä sopivasti muuttuva säde ja sopivasti muuttuva nousu. 4) Käyrä syntyy pallon ja sopivan lieriön leikkauksena.

Simo K. Kivelä

Solmu 2/1999-2000
Viimeksi muutettu 24. marraskuuta 1999.