Edellisessä geometriakulmassa esittelin tangenttien käyttöön perustuvan menetelmän ellipsin piirtämiseen: Lähtökohtana on ellipsin ympäri piirretty ympyrä (säteenä siis ison akselin puolikas a) ja ellipsin polttopisteet F1 ja F2. Polttopisteiden kautta asetetaan samansuuntaiset säteet, jotka leikkaavat ympyrän pisteissä Q ja R. Suora QR on ellipsin tangentti. Piirtämällä tällä tavoin riittävän monta tangenttia, saadaan ellipsi hahmotelluksi tangenttien verhokäyränä.
Menetelmän pätevyyden voi todistaa analyyttisen geometrian keinoin, ts. algebrallisesti laskemalla. Sen voi myös todistaa puhtaan geometrisesti, kuten seuraava osoittaa.
Jatketaan janoja F1Q ja F2R, jolloin syntyy nelikulmio QRQ1R1. Symmetriasta seuraa, että tämä on suorakulmio ja QQ1on ympyrän halkaisija.
Asetetaan polttopisteen F1 kautta kaksi sädettä F1Q ja F1Q'sekä piirretään näitä vastaavat tangentit. Nämä leikatkoot pisteessä P'. Koska kulmat F1QP' ja F1Q'P' ovat edellä olevan mukaan suoria, ovat pisteet Q ja Q' ympyräviivalla, jonka halkaisijana on jana F1P'. Tällöin kulmat F1P'Q ja F1Q'Q ovat yhtä suuria samaa kaarta vastaavina kehäkulmina.
Jos piste Q' lähestyy pistettä Q, yhtyvät tangentit ja niiden leikkauspisteestä P' tulee verhokäyrän (ellipsin) piste P. Sekantista SQ' tulee ympäri piirretyn ympyrän tangentti QT; kulmista F1P'Q ja F1Q'Q tulee yhtä suuret kulmat F1PQ ja F1QT. Tangentilla QR oleva sivuamispiste määräytyy siis siitä ehdosta, että kulmien F1PQ ja F1QT tulee olla yhtä suuret.
Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että kulmat F2PR ja F2RUovat yhtä suuret. Kaikki neljä kulmaa ovat keskenään yhtä suuret, sillä tangenttikulman QKR symmetrisyyden takia ovat kulmat KQR ja KRQ yhtä suuret, jolloin myös F1QT ja F2RU ovat yhtä suuret.
Määritetään piste W janan F1Q jatkeelta siten, että janat F1Qja QW ovat yhtä pitkät. Em. kulmien yhtäsuuruudesta seuraa, että pisteet W, P ja F2 ovat samalla suoralla. Koska janat QW ja F2Q1 ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät, on nelikulmio QWF2Q1 suunnikas.
Kolmioiden QF1P ja QWP yhtenevyyden takia ovat janat F1P ja
WP yhtä pitkät, jolloin janojen pituuksille on
Sivutuotteena on tullut todistetuksi (miten?) ellipsin heijastusominaisuus: Polttopisteestä lähtevä ellipsin kehästä heijastuva säde osuu toiseen polttopisteeseen.
Lukija kiinnittäköön huomiota tangentin käsittelyyn edellä olevassa todistuksessa. Ympyrän tapauksessa tangentin sivuamispiste on yksinkertaisesti tangenttia vastaan kohtisuoran säteen päätepiste. Ellipsillä ei vastaavaa yksinkertaista ominaisuutta ole. Tangentin sivuamispiste löytyykin rajaprosessilla pisteen Q' lähestyessä pistettä Q.
Lähde: E. H. Lockwood, A book of curves, Cambridge University Press, 1961.
Simo K. Kivelä