Joukko-oppia reaaliluvuilla

Reaaliluvut

Mitä reaaliluvut ovat? Minkälaisia ominaisuuksia niillä on? Reaalilukujen joukkoa, jota merkitään symbolilla  $\mathbb{R}$, kutsutaan myös lukusuoraksi tai kontinuumiksi -- suomalaisemmin jatkumoksi. Reaalilukuja ovat mm.

0, 1, 2, - 1,$${\textstyle\frac{3}{2}}$$,$$\sqrt{2}$$,$$\pi$$, 1998, - 273.

Kuten kohta nähdään, ei ole mahdollista luetella kaikkia reaalilukuja.

Reaalilukuja ovat siis luonnolliset luvut $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3,...}, kokonaisluvut $\mathbb{Z}$ = {..., - 2, - 1, 0, 1, 2,...},murtoluvut eli rationaaliluvut

= $$\left\{\vphantom{\,\frac{m}{n}\mid m,n\in \mathbb{Z} ,n\not=0\,}\right.$$ $${\frac{m}{n}}$$ | m, n $$\in$$ , n $$\not=$$0  $$\left.\vphantom{\,\frac{m}{n}\mid m,n\in \mathbb{Z} ,n\not=0\,}\right\}$$

ja irrationaaliluvut eli luvut, jotka ovat reaalilukuja mutteivät rationaalilukuja.¹

Reaaliluvut on lineaarisesti järjestetty eli kaikille x $\not=$y $\in$ $\mathbb{R}$ pätee joko x < y tai y < x. Tästä johtuu nimi 'lukusuora'. Kun a, b ovat reaalilukuja ja a < b, niin näiden määräämä väli [a, b] on joukko

{ x $$\in$$ | a$$\le$$x$$\le$$b }.

Välin [a, b] pituus on b - a. Reaalilukujen järjestys on tiheä eli jokaisen kahden reaaliluvun välistä löytyy reaaliluku.

Mikseivät rationaaliluvut riitä? Rationaalilukujen joukko on myös lineaarisesti järjestetty ja tiheä. Kuitenkin rationaalilukujen joukko on täynnä aukkoja. Esimerkiksi rationaalilukujono

x₀ = 2,  x_{n + 1} = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$$x_n + $${\frac{2}{x_n}}$$ $$\left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$$

suppenee kohti reaalilukua $\sqrt{2}$,² mutta yksikköneliön halkaisijan pituus, $\sqrt{2}$, on irrationaalinen. Tämä nähdään seuraavasti. Jos olisi $\sqrt{2}$ = ${\dfrac{m}{n}}$, missä m, n ovat kokonaislukuja ja ${\dfrac{m}{n}}$ on supistetussa muodossa, niin seuraisi 2n² = m², jolloin luvun mtäytyisi olla parillinen, s.o. m = 2k. Mutta tällöin olisi n² = 2k², mistä seuraisi, että myös n olisi parillinen. Siis ${\dfrac{m}{n}}$ voitaisiinkin supistaa, mikä on vastoin oletusta. Siis $\sqrt{2}$ on irrationaalinen.³ Reaalilukujen joukko määritellään siten, että siihen ei jää "aukkoja" -- siitä johtuu nimi 'jatkumo'.⁴ Algebralliset reaaliluvut ovat jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohtia. Rationaaliluvut ovat algebrallisia, sillä murtoluku ${\dfrac{m}{n}}$ on polynomin nx - m nollakohta. Polynomi x² - 2 osoittaa luvun $\sqrt{2}$ algebrallisuuden. Reaaliluvut, jotka eivät ole algebrallisia, ovat transsendentaalisia. Esimerkiksi $\pi$, ympyrän kehän ja halkaisijan pituuksien suhde, ja e = $\lim_{n\to\infty}^{}$(1 + ${\frac{1}{n}}$)ⁿ ovat transsendentaalisia. Näiden todistus ei ole aivan helppo.⁵

Mahtavuus

Kuinka paljon reaalilukuja sitten on? Kuinka äärettömiä joukkoja voidaan verrata toisiinsa? Asetetaan määritelmä:

Joukot A ja B ovat yhtämahtavia, jos joukkojen A ja B alkiot voidaan järjestää pareiksi niin, että jokaisella joukon A alkiolla on tasan yksi pari joukosta B ja kääntäen. Toisin sanoen on olemassa kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus joukkojen A ja B välillä. Joukko on ääretön, jos se on yhtämahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa.

Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko $\mathbb{N}$ on ääretön, koska $\mathbb{N}$ on yhtämahtava parillisten lukujen joukon kanssa: n $\mapsto$ 2n eli 0 $\mapsto$ 0, 1 $\mapsto$ 2, 2 $\mapsto$ 4, ... on kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus.

Joukkoa sanotaan numeroituvaksi, jos se on äärellinen tai yhtämahtava joukon $\mathbb{N}$ kanssa. Numeroituva joukko A voidaan siis luetella:

A = {x₀, x₁, x₂,...} = { x_n | n $$\in$$ N }.

Joukko on ylinumeroituva, jos se ei ole numeroituva.

Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva, mikä näytetään siten, että jokainen yritys luetella kaikki reaaliluvut jonossa r₀, r₁, r₂,... sisältää "aukkoja", ts. haetaan reaaliluku, joka ei ole tässä jonossa. Olkoon I₀ jokin väli, joka ei sisällä lukua r₀. Olkoon I₁ välin I₀osaväli, joka ei sisällä lukua r₁. Olkoon I_{n + 1} välin I_nosaväli, joka ei sisällä lukua r_{n + 1}. Nyt välien I_nalkupisteiden jono suppenee kohti reaalilukua r, joka kuuluu jokaiseen väliin  I_n, kun n = 0, 1, 2,.... Tämä r ei siis voi olla mikään luvuista r₀, r₁, r₂, ...⁶

Toisaalta algebrallisten lukujen joukko on numeroituva. Tämä nähdään seuraavasti: Luetellaan ensin kaikki kokonaislukukertoimiset polynomit

a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ (a_n > 0)

järjestyksessä luvun k = | a₀| + | a₁| + ... + | a_n| + n mukaan:

k	polynomit, joilla ym. luku on k
1	1
2	x, 2
3	x2, 2x, x $\pm$ 1, 3
4	x3, 2x2, x2 $\pm$ x, x2 $\pm$ 1, 3x, 2x $\pm$ 1, x $\pm$ 2, 4
5	x4, 2x3, x3 $\pm$ x2, x3 $\pm$ x, x3 $\pm$ 1, 3x2, 2x2 $\pm$ x, 2x2 $\pm$ 1, x2 $\pm$ 2x,
	x2 $\pm$ x $\pm$ 1, x2 $\pm$ 2, 4x, 3x $\pm$ 1, 2x $\pm$ 2, x $\pm$ 3, 5
6	...

Yllä polynomit on lueteltu ottamalla korkeimmat asteluvut ensin. Nyt voidaan luetella kaikki algebralliset luvut. Kutakin kkohti on siis aina äärellinen määrä polynomeja ja kullakin polynomilla on algebran peruslauseen mukaan korkeintaan astelukunsa osoittama määrä reaalisia nollakohtia. Lopuksi voidaan poistaa luettelosta toistot.

k	polynomien nollakohdat, toistot poistettu
1
2	0
3	$\pm$ 1
4	$\pm$ ${\frac{1}{2}}$, $\pm$ 2
5	$\pm$ ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$, $\pm$ $\sqrt{2}$, ${\frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}}$, $\pm$ ${\frac{1}{3}}$,$\pm$ 3
6	...

Lopullinen algebrallisten lukujen numerointi alkaa siis seuraavasti:

0, 1, - 1,${\frac{1}{2}}$, - ${\frac{1}{2}}$, 2, - 2,${\frac{1}{\sqrt2}}$, - ${\frac{1}{\sqrt2}}$,$\sqrt{2}$, - $\sqrt{2}$,${\frac{1+\sqrt5}{2}}$,${\frac{1-\sqrt5}{2}}$,...

Huomaa, että edellisestä seuraa, että rationaalilukujen joukko on numeroituva.⁷ Suurin osa reaaliluvuista siis on transsendentaalisia.

Kontinuumihypoteesi on joukko-opin väite, joka sanoo että jokainen ylinumeroituva reaalilukujoukko on yhtämahtava joukon $\mathbb{R}$ kanssa. On pystytty näyttämään, että kontinuumihypoteesiä ei voi todistaa oikeaksi eikä vääräksi joukko-opin aksioomeista lähtien.

Pieniä suuria joukkoja

Joukko A $\subset$ $\mathbb{R}$ on nollamittainen, jos se voidaan peittää väleillä, joiden pituuksien summa saadaan mielivaltaisen pieneksi. Esimerkiksi yhden pisteen joukko on nollamittainen, koska se voidaan peittää yhdellä mielivaltaisen lyhyellä välillä. Myös numeroituva joukko on aina nollamittainen, mikä nähdään seuraavasti. Olkoon A = {x₀, x₁, x₂,...}. Olkoon r > 0 mielivaltainen. Valitaan kullekin n $\in$ $\mathbb{N}$ väli I_n siten, että x_n $\in$ I_n ja välin I_n pituus on ${\dfrac{r}{2^{n+1}}}$. Nyt nämä välit peittävät joukon A ja välien pituuksien summa on

$$\sum_{n=0}^{\infty}$$$${\frac{r}{2^{n+1}}}$$ = r$${\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}$$ = r.

Koska r voi olla miten pieni tahansa, niin A on nollamittainen.

Seuraavaksi konstruoimme ns. Cantorin joukon, joka on ylinumeroituva ja nollamittainen.

Cantorin joukko C konstruoidaan siten, että lähdetään yksikkövälistä C₀ = [0, 1] ja siitä saadaan C₁ poistamalla keskeltä kolmannes. Siis C₁ = [0,${\frac{1}{3}}$] $\cup$ [${\frac{2}{3}}$, 1]. Joukko C₂ koostuu neljästä välistä, jotka saadaan poistamalla C₁:n väleistä keskeltä kolmannes. Siis

C₂ = [0,${\frac{1}{9}}$] $\cup$ [${\frac{2}{9}}$,${\frac{3}{9}}$] $\cup$ [${\frac{6}{9}}$,${\frac{7}{9}}$] $\cup$ [${\frac{8}{9}}$, 1].

Yleisesti C_{n + 1}saadaan poistamalla joukon C_n väleistä keskeltä kolmannes. Cantorin joukko C on joukkojen C_n leikkaus.^8,9

 

Kuva 1: Cantorin joukko

Joukko C_nkoostuu 2ⁿ:stä erillisestä välistä, joiden pituus on ${\dfrac{1}{3^n}}$. Cantorin joukko on nollamittainen

$$\lim_{n\to \infty }^{}$$m(C_n) = $$\lim_{n\to \infty }^{}$$$$\left(\vphantom{\frac{2}{3}}\right.$$$${\textstyle\frac{2}{3}}$$ $$\left.\vphantom{\frac{2}{3}}\right)^{n}_{}$$ = 0.

Lisää lukemista

• Jouko Väänäsen artikkeli Äärettömyyden käsite Georg Cantorilla kirjassa Oikkonen: Katsauksia matematiikan historiaan, Gaudeamus.

• The beginnings of set theory

Aapo Halko

Alaviitteet

... rationaalilukuja.¹

Reaalilukujen desimaalikehitelmä ei ole yksikäsitteinen. Näytä, että 1 = 0, 999...

...$\sqrt{2}$,²

Todista $\lim_{n\to\infty}^{}$x_n = $\sqrt{2}$.

... irrationaalinen.³

Tehtävä: Todista, että irrationaaliluvun desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton.

... 'jatkumo'.⁴

Reaalilukujen joukko-opillinen määritelmä rationaalilukujen avulla on seuraava. Dedekindin leikkaus on pari (A, B), joka toteuttaa ehdot

1.

A, B $\subset$ $\mathbb{Q}$, A, B $\not=$ $\emptyset$, A $\cup$ B = $\mathbb{Q}$ ja A $\cap$ B = $\emptyset$.

2.

Jos a $\in$ A ja x < a, niin x $\in$ A. Jos b $\in$ B ja x > b, niin x $\in$ B. Joukossa A ei ole viimeistä alkiota.

Reaalilukujen joukko on kaikkien Dedekindin leikkausten joukko eli kaikkien "aukkojen" joukko.

... helppo.⁵

Sivulla http://www.seanet.com/%7Eksbrown/kmath313.htm luku $\pi$ näytetään irrationaaliseksi.

..., ...⁶

Osoita, että $\mathbb{R}$ ja avoin väli ] - 1, 1[ ovat yhtämahtavia.

... numeroituva.⁷

Hae jokin rationaalilukujen numerointi.

... leikkaus.⁸

Osoita, että Cantorin joukko on ylinumeroituva. Todistus menee samaan tapaan kuin $\mathbb{R}$:n ylinumeroituvuus.

...8⁹

Osoita, että Cantorin joukko on muotoa

$$\left\{\vphantom{\,\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}\biggm\vert a_n\in \{0,2\}\,}\right.$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}$$$${\frac{a_n}{3^n}}$$$$\biggm\vert$$a_n $$\in$$ {0, 2}  $$\left.\vphantom{\,\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}\biggm\vert a_n\in \{0,2\}\,}\right\}$$

Solmu 2/1998-1999
Last modified: Sun Jan 24 22:02:55 EET 1999