Solmun tehtävät

Palataan muutamaan jo käsiteltyyn tehtävään. Matti Tuomi on esittänyt seuraavan ratkaisun tehtävään 23, jossa tuli osoittaa, että $\left(\left((7^7)^7\right)^7\right)^7+$ $\left((7^7)^7\right)^7$ on jaollinen 10:llä. Näin Tuomi: Koska 7² päättyy 9:ään, 7⁴ päättyy samoin kuin 9² 1:een, 7⁶ päättyy 9:ään ja 7⁷ samoin kuin 7$\cdot$ 9 3:een. Tästä seuraa, että 7⁷-(-7) päättyy 0:aan eli on 10:llä jaollinen. Jos käytetään merkintää a $\equiv$ b siitä, että a-b on jaollinen 10:llä, saadaan 7⁷ $\equiv$ -7, (7⁷)⁷ $\equiv$ (-7)⁷ ja vielä pari kertaa potenssiin 7 korottamalla $\left(\left((7^7)^7\right)^7\right)^7$ $\equiv$ $\left(((-7)^7)^7\right)^7$. Koska potenssit ovat parittomia, viimeinen relaatio on yhtäpitävä relaation $\left(\left((7^7)^7\right)^7\right)^7+$ $\left((7^7)^7\right)^7$ $\equiv$ 0 kanssa, ja tämähän juuri pitikin todistaa.

Janne Kojo Ilmajoelta oli lähettänyt useita ratkaisuja. Menee toimittajan seniiliyden piikkiin se, että numerossa 2/97-98 julkaistuja ratkaisuja kirjoittaessaan hän oli hukannut Jannen kirjeen. -- Näytteeksi Janne Kojon ratkaisu tehtävään 26, jossa piti osoittaa, että viiden peräkkäisen kokonaisluvun neliön summa on jaollinen 5:llä, muttei 25:llä: Jos n on luvuista pienin on n, niin tehtävän summa on n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+(n+4)² = n²+ (n²+2n+1)+ (n²+4n+4)+ (n²+6n+9)+ (n²+8n+16) = 5n²+20n+30 = 5(n²+4n+6). Luku on jaollinen 5:llä. Että se ei ole jaollinen 25:llä, nähdään siitä, että tulon toinen tekijä ei ole jaollinen 5:llä. Jos n on jaollinen viidellä tai muotoa 5k+1, niin n²+4n on jaollinen 5:llä, mutta 6 ei ole. Jos n on muotoa 5k+2, n²+4n+6 on muotoa 5m+4+8+6, eikä ole jaollinen 5:llä. Jos n on muotoa 5k+3, n²+4n+6 on muotoa 5m+9+12+6=5m+27 eikä ole jaollinen 5:llä. Jos n on muotoa 5k+4, n²+4n+6 on muotoa 5m+16+16+6=5m+38, eikä ole jaollinen 5:llä.

Solmun tehtäväosaston suosio -- ainakin mitä tulee palautteeseen -- on ollut aika vaatimaton. Toimittajalle on ehdotettu, että tämä johtuisi tehtävien vaikeudesta. Vaikka toimittaja ei selitykseen itse uskokaan, niin seuraavat tehtävät on yritetty etsiä edelleen helpompien kasasta. Muutama alkuun ohjaava vihjekin on pantu mukaan. Vihjeet on kirjoitettu omaksi ryhmäkseen sivulle 19, jotta tehtäviin ihan tuoreina tutustua haluava voi sen tehdä.

Tehtävät 36 - 40

36. Kutsuilla on 35 vierasta ja isäntä. Kaikki paikallaolijat kättelevät toisensa. Montako kättelyä kutsuilla tapahtuu? Johda lauseke, joka kertoo kättelyjen määrän, kun kättelijöitä on n kappaletta.

37. Kutsuilla on paljon vieraita. Kukin vieras kättelee joitakin muita vieraita tai sitten ei kättele ketään. Osoita, että sellaisten vieraiden lukumäärä, jotka kättelevät parittoman määrän muita vieraita, on parillinen.

38. Lisää seurapiirimatematiikkaa: kutsuilla on paljon vieraita. Jokainen vieras tuntee joitakin muista vieraista. Todista, että kutsuilla on ainakin kaksi vierasta, jotka tuntevat muista vieraista tasan yhtä monta. Tunteminen on molemminpuolista: jos A tuntee B:n, niin B tuntee A:n.

39. Tämä on vanha ongelma, mutta jos et ole sitä koskaan ajatellut, niin tee se nyt: Kutsuilla on kuusi vierasta. Osa näistä on ehkä kätellyt toisensa, osa ei. Osoita, että vieraissa on välttämättä joko kolme sellaista jotka kaikki ovat kätelleet toisensa tai kolme sellaista, joista kukaan ei ole kätellyt muita kahta. Päteekö väite, jos puhutaan vain viidestä vieraasta?

40. Edellisen tehtyäsi osaat tämänkin: kutsuilla on 17 vierasta. Osa on kätellyt toisensa, osa nyökännyt tervehdyksen toisilleen ja osa ollut kokonaan tervehtimättä. Osoita, että kutsuilla on jotkin kolme vierasta jotka joko kaikki ovat kätelleet, kaikki nyökänneet toisilleen tai kaikki jättäneet tervehtimättä toisensa.

Lähettäkää vastauksia Solmun tehtävätoimittajalle osoitteella Matti Lehtinen, Peukaloisentie 4 A 6, 00820 Helsinki, tai lähettäkää sähköpostia osoitteeseen Matti.Lehtinen@Helsinki.FI. Kaikki aikaisemmatkin tehtävät ovat edelleen avoimia keskustelulle: jos Sinulla on omaperäinen ratkaisu, lähetä se Solmuun muidenkin lukijoiden iloksi!

Matti Lehtinen
Matti.Lehtinen@Helsinki.FI

Solmu 3/1997-1998