Geometriakulma:
Algebran käyttö geometriassa
eli Napoleonin lause uudelleen

Solmun numerossa 1/1997-98 annoin lukijoille pohdittavaksi ns. Napoleonin lauseen.

Tässä asetetaan mielivaltaisen kolmion ABC sivuille tasasivuiset kolmiot ABD, BCE ja CAF; näiden keskipisteet olkoot P, Q ja R. Väitteenä -- joka jäi lukijoiden keksittäväksi -- on, että kolmio PQR on aina tasasivuinen ja sen keskipiste yhtyy alkuperäisen kolmion keskipisteeseen (so. keskijanojen leikkauspisteeseen).

Miten lauseen sitten voisi todistaa?

Geometriset lauseet todistetaan usein piirtämällä sopivia apupiirroksia ja päättelemällä kuvion pisteistä, suorista, janoista, ympyröistä jne. erilaisia asioita. Ajatustapa on peräisin antiikin kreikkalaisilta ja elänyt ns. euklidisen geometrian opetuksessa vuosisatoja ellei -tuhansia.

Paljon myöhemmin syntynyttä algebraa voidaan kuitenkin myös käyttää. Tämä voi tapahtua analyyttisen geometrian muodossa tarkastelemalla pisteitä koordinaattien avulla, suoria ja ympyröitä niiden yhtälöiden avulla. Analyyttisen geometrian loi ranskalainen filosofi ja matemaatikko René Descartes 1600-luvulla. (Descartes kuoli vuonna 1650 Tukholmassa, jonne Ruotsin kuningatar Kristiina oli kutsunut hänet filosofian opettajakseen. Kylmä talvi, koleat huoneet, aamulla kello viisi alkaneet oppitunnit kuningattarelle mursivat hänen terveytensä.)

Toinen vaihtoehto on vektorialgebran käyttö. Tämä on viime vuosisadalla syntynyttä, luojina lähinnä irlantilainen William Rowan Hamilton ja saksalainen Hermann Grassmann.

Kolmas mahdollisuus on kompleksilukualgebra, jonka esitti johdonmukaisessa muodossa erittäin monipuolinen saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss viime vuosisadan alussa. (Tosin norjalainen Caspar Wessel oli esittänyt kompleksitason käsitteen jo ennen Gaussia, mutta hänen tanskankielistä työtään ei tunnettu.)

Napoleonin lause voidaan varsin lyhyesti todistaa kompleksilukualgebraa käyttäen.

Muotoa u = cos$\alpha$+ i sin$\alpha$ olevaa kompleksilukua voidaan kutsua kiertotekijäksi, koska sillä kertominen kiertää kompleksilukua kulman $\alpha$ verran origon ympäri. Lukija voi tarkistaa tämän kirjoittamalla mielivaltaisen kompleksiluvun z = x + iy napakoordinaattimuotoon z = r(cos$\varphi$+ i sin$\varphi$) ja laskemalla tulon uz; sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista on tällöin iloa.

Tarkoittakoon u seuraavassa 60 asteen suuruista kiertoa: u = cos($\pi$/3) + i sin($\pi$/3) = $\frac{1}{2}$(1+i$\sqrt{3}$). Koska kolme 60 asteen kiertoa merkitsee yhteensä 180 asteen kiertoa, on u³ = -1 eli u³ + 1 = 0. Tämä voidaan jakaa tekijöihin: u³ + 1 = (u + 1)(u² - u + 1) = 0. Koska u + 1 $\neq$ 0, on kyseisellä kiertotekijällä ilmeisestikin ominaisuus u² + 1 = u.

Tämän yhtälön voi luonnollisestikin tarkistaa myös sijoittamalla siihen u = $\frac{1}{2}$(1+i$\sqrt{3}$). Se voidaan lisäksi tulkita vektoreiden yhteenlaskuksi: lukija piirtäköön origosta alkavat pisteisiin u² ja 1 päättyvät vektorit ja laskekoon ne yhteen. Kompleksilukujen yhteenlaskuhan on vektoriyhteenlaskua.

Ja sitten Napoleonin lauseen todistukseen:

Kolmion kärkipisteitä esittävät kompleksiluvut olkoot a, b ja c. Siis a = a₁ + i a₂, jne., mutta esitystä reaali- ja imaginaariosan avulla ei seuraavassa tarvita.

Tasasivuisen kolmion ABD kärki D kompleksilukuna on d = a + u(b - a). Kyseessä on vektorisumma: origosta pisteeseen A osoittava vektori lisättynä 60 astetta kierretyllä vektorilla $\overline{AB}$. Vastaavasti e = b + u(c - b) ja f = c + u(a - c).

Koska kolmion keskijanojen leikkauspiste saadaan kärkipisteiden keskiarvona, on p = $\frac{1}{3}$ (a + b + d) = $\frac{1}{3}$ [2a + b + u(b - a)] ja samoin q = $\frac{1}{3}$ [2b + c + u(c - b)], r = $\frac{1}{3}$ [2c + a + u(a - c)].

Kolmion PQR keskipiste on tällöin

$$\begin{split} \tfrac{1}{3}(p + q + r) & = \tfrac{1}{9}[2a + b... ... + a + u(a - c)] \\ \\ &= \tfrac{1}{3}(a + b + c), \end{split}$$

ts. alkuperäisen kolmion keskijanojen leikkauspiste.

Kiertämällä vektoria $\overline{PR}$, ts. kertomalla erotuskompleksiluku r - p kiertotekijällä saadaan seuraavaa:

$$\begin{split} u(r - p) &= \tfrac{1}{3}u[2c - a - b + u(2a - b... ...1}{3}[b + c - 2a + u(a + c - 2b)]\\ \\ &= q - p. \end{split}$$

Tuloksena on siis vektori $\overline{PQ}$. Tällöin kulman RPQ suuruus on 60 astetta ja sivut PR ja PQ ovat yhtä pitkiä. Tämä riittääkin tekemään kolmion PQR tasasivuiseksi.

Voilà! Olemme valmiit.

Simo Kivelä

Solmu 3/1997-1998