Turistina matematiikassa

Toinen retki. Nuo mainiot binomikertoimet.

C  Matkamuistot

Varsinainen retkeily tehtiin Solmussa 1/1997-98. Osa kohteista jäi tuolloin selittämättä. Tätä jälkikatsausta kannattaa seurata edellisen retken matkaopas mukanaan - kohdenumerointikin periytyy sieltä.

2. Todista oikeiksi yhteenlaskukaavat

\begin{displaymath}
{n\choose 0}+{n+1\choose 1}+\cdots+{n+k\choose
k}={n+k+1\choose k}\end{displaymath}

ja

\begin{displaymath}
{n\choose n}+{n+1\choose n}+\cdots+{n+k\choose
n}={n+k+1\choose n+1}.\end{displaymath}

Käytetään induktiota. Kaavoista ensimmäinen on tosi, kun k=0. Jos kaava on tosi arvolla k, pätee

\begin{displaymath}
\begin{split}
&{n\choose 0}+{n+1\choose
1}+\cdots+{n+k\choos...
 ...\choose k}+{n+k+1\choose k+1} 
=
{n+k+2\choose k+1},\end{split}\end{displaymath}

ja induktioaskel on otettu. Jälkimmäinen kaava seuraa edellisestä, kun otetaan huomioon kaava .

4. Osoita, että $1^2+2^2+\cdots+n^2$ voidaan laskea käyttämällä hyväksi kaavaa (k+1)3-k3=3k2+3k+1. Keksitkö vielä muita tapoja summan laskemiseksi?

\begin{displaymath}
\begin{split}
3\sum_{k=1}^nk^2&=\sum_{k=1}^n((k+1)^3-k^3)-3\sum_{k=1}^nk- n
\\ & = (n+1)^3-1-{3\over 2}n(n+1)-n,\end{split}\end{displaymath}

joten

\begin{displaymath}
\begin{split}
6\sum_{k=1}^nk^2 & =2(n+1)^3-2- 3n(n+1)-2n
\\ &=
2n^3+3n^2+n=n(2n+1)(n+1).\end{split}\end{displaymath}

Toinen tapa laskea summa olisi arvata sen olevan muotoa An3+Bn2+Cn+D ja määrittää A, B, C ja D antamalla n:lle neljä eri suurta kokonaislukuarvoa. Saatu kaava voitaisiin sitten todistaa induktiolla paikkansapitäväksi kaikilla n.

5. Laske

\begin{displaymath}
\sum_{k=1}^nk^3\quad{\rm ja}\quad
\sum_{k=1}^nk^4.\end{displaymath}

Koska

\begin{displaymath}
{k+2\choose 3}={(k+2)(k+1)k\over
6}={1\over 6}k^3+{1\over 2}k^2+{1\over
3}k,\end{displaymath}

on

\begin{displaymath}
\begin{split}
\sum_{k=1}^nk^3 
& = 
6\sum_{k=1}^n{k+2\choose...
 ...+1)(n+1)\over 2}-n(n+1)
\\  & =
{n^2(n+1)^2\over 4}.\end{split}\end{displaymath}

Vastaavasti

\begin{displaymath}
{k+3\choose 4}={1\over
24}k^4+{1\over 4}k^3+{11\over 24}k^2+{1\over 4}k,\end{displaymath}

joten

\begin{displaymath}
\begin{split}
\sum_{k=1}^nk^4
& = 
24\sum_{k=1}^n{k+3\choose...
 ... 3\right)
\\  & =
{n(2n+1)(n+1)(3n^2+3n-1)\over 30}.\end{split}\end{displaymath}

6. Määritä

\begin{displaymath}
\int_0^1x^p\,dx\end{displaymath}

arvoilla p=1, 2, 3, 4, käyttäen hyväksi tietoa

\begin{displaymath}
\int_0^1x^p\,dx\approx
\sum_{k=1}^n\left({k\over n}\right)^p{1\over n}.\end{displaymath}

Integraalia approksimoivien summien arvot ovat

\begin{displaymath}
\begin{split}
{n(n+1)\over 2n^2},\quad & {n(n+1)(2n+1)\over ...
 ...4n^4},\quad\\ &{n(2n+1)(n+1)(3n^2+3n-1)\over 30n^5}.\end{split}\end{displaymath}

Kun $n\to\infty$, osamäärät lähestyvät raja-arvoja $\displaystyle{1\over 2}$, $\displaystyle{1\over
3}$, $\displaystyle{1\over 4}$ ja $\displaystyle{1\over 5}$.

9. Johda kaava

\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^n{1\over k+1}{n\choose
k}={2^{n+1}-1\over n+1}\end{displaymath}

integroimalla binomikaava.

\begin{displaymath}
\begin{split}
\int_0^x\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k\,dx &=
\su...
 ...nt_0^x(1+x)^n\,dx
\\ &=
{1\over n+1}((x+1)^{n+1}-1).\end{split}\end{displaymath}

Kun tähän sijoitetaan x=1, saadaan heti haluttu kaava.

10. Määritä

\begin{displaymath}
\sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}.\end{displaymath}

Kohteen 8 jälkimmäisen kaavan perusteella

\begin{displaymath}
nx(1+x)^{n-
1}=\sum_{k=1}^nk{n\choose k}x^k.\end{displaymath}

Kun tämä derivoidaan puolittain, saadaan

\begin{displaymath}
n(x+1)^{n-1}+n(n-1)x(x+1)^{n-2}=\sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}x^{k-
1}.\end{displaymath}

Kun sijoitetaan x=1, saadaan

\begin{displaymath}
\sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}=n\cdot
2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}.\end{displaymath}

12. Osoita, että

\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^n{n\choose
k}^2={2n\choose n}.\end{displaymath}

Kohdan 11 nojalla $\displaystyle{2n\choose n}$ on origosta koordinaattipisteeseen $(n,\,n)$ johtavien reittien lukumäärä. Origosta pisteeseen $(n-k,\,k)$ on saman numeron mukaan $\displaystyle{n\choose k}$reittiä. Mutta symmetrian nojalla pisteestä $(n-k,\,k)$ pisteeseen $(n,\,n)$ on yhtä monta reittiä. Pisteen $(n-k,\,k)$ kautta origosta pisteeseen $(n,\,n)$ kulkevia reittejä on niin ollen $\displaystyle{n\choose k}\cdot {n\choose k}$ kappaletta. Koska jokainen reitti origosta $(n,\,n)$:ään kulkee tasan yhden pisteistä $(n-k,\,k)$,k=0, 1, ..., n kautta, on tehtävän kaava tosi. (Sama kaava saadaan kohteen 13 kaavasta (8), kun siinä asetetaan k=j=n.)

16. Miten alkaisivat funktioiden (1+x)2/3 ja (1+x)-2 x:n potenssien mukaan etenevät kehitelmät?

Jos $(1+x)^{2\over 3}=A+Bx+Cx^2+Dx^3+\cdots$, niin

\begin{gather*}
1+2x+x^2=(A+Bx+Cx^2+Dx^3+\cdots)^3\\ =
A^3+3A^2Bx+(3A^2C+3AB^2)x^2+(3A^2D+6ABC+B^3
)x^3+\cdots,\end{gather*}

joten A=1, $B=\displaystyle{2\over 3}$,$3C+\displaystyle{4\over 3}=1$ eli $C=-\displaystyle{1\over 9}$, 3D=-6ABC- B3 eli $D=\displaystyle{4\over 81}$ jne. Geometrisen sarjan summan kaavan perusteella $(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+\cdots$. Siis $(1+x)^{-2}=(1-x+x^2-
x^3+\cdots)^2=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$.

Matti Lehtinen

[email protected].FI


Solmu 2/1996-1997