Olkoon K kiinteä piste, jonka kautta asetetaan kolme suoraa. Jokaiselta suoralta valitaan kaksi pistettä: ensimmäiseltä A ja A', toiselta B ja B', kolmannelta C ja C'. Kolmioiden ABC ja A'B'C' vastinsivujen (so. AB ja A'B'; BC ja B'C'; CA ja C'A') tai niiden jatkeiden leikkauspisteet olkoot R, S ja T.
Vaikka periaatteessa ei olekaan väliä, miten kolme suoraa ja pisteet näiltä valitaan, lienee hyvä sijoittaa piste K jonnekin paperin laitaan, piirtää tästä alkamaan kolme melko lähellä toisiaan olevaa puolisädettä ja sovitella loput pisteet näille siten, että leikkauspisteet mahtuvat paperille.
Kuinka ollakaan, pisteet R, S ja T näyttävät olevan samalla suoralla! Ja ne todella ovat suorien ja pisteiden valinnoista riippumatta. Tulos tunnetaan Desarguesin lauseen nimellä ranskalaisen 1600-luvun alkupuolella eläneen arkkitehdin, insinöörin ja geometrikon Girard Desarguesin mukaan.
Edellä kuvattu konstruktio ei ole aivan ongelmaton: voihan sattua, että jotkin vastinsivupareista ovat yhdensuuntaisia eikä niillä olekaan leikkauspistettä. Tällöin on ajateltava projektiivisen geometrian tapaan, että yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa äärettömän kaukaisessa pisteessä suorien suunnassa (kummassa tahansa kahdesta vastakkaisesta suunnasta). Uuden suoran piirtäminen tällaisen pisteen kautta tarkoittaa sen piirtämistä yhdensuuntaiseksi äärettömän kaukaista pistettä määrittelevien suorien kanssa.
Girard Desarguesia voidaan pitää projektiivisen geometrian luojana, vaikkakin hänen ajatuksensa jäivät omaperäisyytensä takia aikanaan vähälle huomiolle. Tunnetumpi projektiivisen geometrian tutkija onkin niin ikään ranskalainen insinööriupseeri ja matemaatikko Jean Victor Poncelet, joka jäi vangiksi Napoleonin Venäjän retkellä 1800-luvun alussa ja hyödynsi vankeusaikansa projektiivista geometriaa tutkimalla.
Miten Desarguesin lauseen voisi todistaa? Projektiivista geometriaa äärettömän kaukaisine pisteineen voidaan käsitellä analyyttisen geometrian keinoin, jolloin todistuksesta tulee algebrallinen lasku.
Puhtaammin geometrinen todistus löytyy huomaamalla, että lauseen geometrinen konstruktio voidaan tehdä myös kolmiulotteisessa avaruudessa. Tällöin pisteen K kautta kulkevat kolme suoraa eivät ole samassa tasossa. Ja tällöin lause on suorastaan selviö! Lukija pohtikoon konstruktiota ja asetelkoon sopivia tasoja avaruuteen. Ilmenee, että pisteet R, S ja T ovat kolmioiden tasojen leikkausuoralla. (Tämä tosin voi olla äärettömän kaukainen suora , jos tasot ovat yhdensuuntaiset.)
Projisioimalla vaikkapa yhdensuuntaisprojektiolla kolmiulotteinen Desarguesin kuvio tasoon päästään tasotapaukseen. Siirtyminen käänteiseen suuntaankin onnistuu: tasokuviota vastaamaan löytyy aina avaruuskuvio, jonka projektio se on.
Lopuksi lukija etsiköön lisää tietoa Desarguesista ja hänen lauseestaan: WWW-hakukone löytyy osoitteesta http://altavista.telia.com ja hakusanaksi Desargues!
Simo K. Kivelä