Ketjumurtoluvuista

Äärelliset ketjumurtoluvut

Äärellinen ketjumurtoluku on muotoa

(1)

oleva lauseke, missä a₀ on kokonaisluku ja a₁, ..., a_n ovat positiivisia kokonaislukuja. Käytämme seuraavassa (1):lle myös hieman mukavampaa merkintätapaa [a₀, ..., a_n]. On selvää, että äärellinen ketjumurtoluku (1) esittää rationaalilukua, jonka esitys muodossa p/q (p kokonaisluku ja q positiivinen kokonaisluku) saadaan lasketuksi (1):stä "alhaalta ylöspäin". Jos ketjumurtoluvussa on monta termiä, on sen arvon laskeminen tällä tavalla aika hankalaa. Tällöin voidaan käyttää seuraavia palautuskaavoja:

Olkoon p₀ = a₀, q₀ = 1, p₁ = a₀ a₁ + 1, q₁ = a₁ sekä

(2)

Voidaan osoittaa, että

(3)

Esimerkki. Lasketaan x = [1,2,3,4,5] (3):n avulla. Nyt p₀ = 1, p₁ = 1·2 + 1 = 3, p₂ = 3·3 + 1 = 10, p₃ = 4·10 + 3 = 43, p₄ = 5·43 + 10 = 225 ja samoin q₀ = 1, q₁ = 2, q₂ = 3·2 + 1 = 7, q₃ = 4·7 + 2 = 30, q₄ = 5·30 + 7 = 157. Kaavan (3) mukaan on siis x = p₄/q₄=225/157. Lukija voi tarkistaa tuloksen kirjoittamalla ketjumurtoluvun [1,2,3,4,5] muotoon (1) ja laskemalla "alhaalta ylöspäin". Kannattaa myös laskea likiarvot luvuille p_k/q_k, k = 0, 1, ..., 4 ja verrata saatuja lukuja toisiinsa.

Tarkastellaan seuraavaksi käänteistä probleemaa: annettuna on rationaaliluku x=p/q (p kokonaisluku ja q positiivinen kokonaisluku) ja tehtävänä on esittää x äärellisenä ketjumurtolukuna (1). Sovelletaan lukuihin p ja q Eukleideen algoritmia, menetelmää, jota voidaan käyttää kahden luvun suurimman yhteisen tekijän määrittämiseen. Tämä menetelmä muodostuu perättäisistä jakolaskuista seuraavaan tapaan:

(jolloin lukujen p ja q s.y.t. on viimeinen nollasta eroava jakojäännös r_n-1). Voidaan osoittaa, että x=p/q=[a₀,a₁,...,a_n].

Esimerkki. Tarkastellaan edellisen esimerkin lukua x=225/157. Eukleideen algoritmi antaa seuraavat jakolaskut

ja tulokseksi saamme ketjumurtoluvun [1,2,3,4,5], josta edellisessä esimerkissä juuri lähdimme liikkeelle.

Huomautamme lopuksi, että rationaaliluvun esitys äärellisenä ketjumurtolukuna ei ole yksikäsitteinen. Jos nimittäin esityksessä (1) viimeinen termi a_n > 1 (Eukleideen algoritmi antaa aina tällaisen esityksen) voidaan esitystä "jatkaa" korvaamalla a_n lausekkeella a_n - 1 + 1/1, toisin sanoen asettamalla uudeksi a_n:ksi vanha a_n - 1 ja uudeksi a_n+1:ksi luku 1. Esimerkiksi luvulla x = 225/157 on myös ketjumurtolukuesitys [1,2,3,4,4,1].

Äärettömät ketjumurtoluvut

Tarkastellaan ääretöntä jonoa a₀, a₁,..., missä a₀ on positiivinen kokonaisluku ja a₁, a₂,... ovat positiivisia kokonaislukuja. Tällöin jokaiselle ei-negatiiviselle positiiviluvulle n on x_n = [a₀, ..., a_n] määritelty äärellisenä ketjumurtolukuna. Lisäksi x_n = p_n/q_n, missä p_n ja q_n saadaan palautuskaavoista (2). Voidaan osoittaa, että

(5)

missä on irrationaaliluku, toisin sanoen reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku. Sanomme nyt, että on äärettömän ketjumurtoluvun [a₀, a₁, ...] arvo. Olkoon kääntäen mielivaltainen irrationaaliluku. Voidaan kysyä, onko esitettävissä äärettömänä ketjumurtolukuna, toisin sanoen onko olemassa ääretöntä jonoa a₀, a₁, ..., jolle on ketjumurtoluvun [a₀, a₁, ...] arvo. Vastaus kysymykseen on myönteinen ja lisäksi voidaan osoittaa, että esitys on yksikäsitteinen (toisin kuin äärellisten ketjumurtolukujen tapauksessa). Näytämme seuraavassa, kuinka kyseinen esitys löydetään. Olkoon . Olkoon a₀ suurin kokonaisluku, joka on enintään . Tällöin voidaan kirjoittaa

(6)

Huomattakoon, että aikaisemmin esittämämme Eukleideen algoritmiin perustuva menetelmä rationaaliluvun äärelliseen ketjumurtolukuesitykseen löytämiseksi on itse asiassa täsmälleen sama kuin yllä oleva menetelmä sovellettuna rationaalilukuun (menetelmää voidaan nimittäin soveltaa niin kauan kuin luvut , jotka nyt olisivat rationaalisia, ovat nollasta eroavia.)

Ensimmäisenä esimerkkinä tarkastelemme irrationaaliluvun (kultaiseen leikkaukseen liittyvä luku!) esitystä äärettömänä ketjumurtolukuna. Koska , on a₀ = 1. Nyt , joten ja seurauksena on, että . Koska nyt a_n = 1, n = 0,1,2,..., nähdään palautuskaavoista (2) nopeasti, että tässä tapauksessa p_n/q_n = F_n+2/F_n+1, n=0,1,2,.... Tässä luvut F_n ovat tämän lehden lukijoille tuttuja Fibonaccin lukuja (jotka määritellään siten, että F₁ = F₂ = 1 ja F_n+2 = F_n+1 + F_n).

Seuraavana esimerkkinä tarkastellaan luonnollisen logaritmijärjestelmän kantalukua, Neperin lukua e=2,71828···. Euler (1707-1783) todisti, että luku e voidaan esittää seuraavana äärettömänä ketjumurtolukuna

e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,...],

jossa siis kahta ykköstä seuraa parillinen luku, joka on kahta suurempi kuin edellinen parillinen luku.

Olkoon nyt irrationaaliluku ja [a₀, a₁, ...] siihen liittyvä ketjumurtoluku. Rationaaliluvut x_n = p_n/q_n = [a₀, a₁, ..., a_n], ketjumurtoluvun [a₀, a₁, ...] ns. konvergentit, lähenevät :tä siten, että ne ovat vuorotellen pienempiä ja suurempia kuin . Lisäksi ne ovat parhaita approksimaatioita siinä mielessä, että jos jollekin rationaaliluvulle x = r/s (r kokonaisluku ja s positiivinen kokonaisluku) pätee , niin tällöin s > q_n.

Esimerkki. Tarkastellaan tunnettua lukua = 3,14159... . Tämän irrationaaliluvun ääretön ketjumurtolukuesitys alkaa siten, että a₀ = 3, a₁ = 7, a₂ = 15, a₃ = 1, a₄ = 292. Toisin kuin aikaisemmissa esimerkeissämme minkäänlaista säännönmukaisuutta ei ole voitu tässä tapauksessa havaita. Tarkastellaan konvergenttia x₃ = p₃/q₃ = 355/113 :n likiarvona intialalisen matemaatikon Srinivasa Ramanujanin (1887-1920) konstruoiman "ympyrän neliöimisen" valossa. Ympyrän neliöimisessä on tarkoituksena konstruoida harpin ja viivoittimen avulla neliö, jolla olisi sama ala kuin annetulla ympyrällä. Jos ympyrän sädettä merkitään r:llä, olisi siis konstruoitava jana (neliön sivu), jonka pituus on . Voidaan kuitenkin osoittaa, että tämä on mahdotonta suorittaa harpin ja viivoittimen avulla. Tarkastellaan seuraavaa kuviota:

Kuvassa on piirrettynä annettu ympyrä, joka on tarkoitus "neliöidä". Sen keskipiste on O. Piste H on säteen PO keskipiste ja piste T säteellä OR sellainen, että jana TR on kolmasosa säteestä OR. Jana TQ on kohtisuorassa halkaisijaa PR vastaan ja jänne RS on piirretty yhtä pitkäksi kuin jana TQ. Yhdistetään pisteet P ja S ja piirretään janat OM ja TN yhdensuuntaisiksi janan RS kanssa. Piirretään jänne PK yhtä pitkäksi kuin PM ja piirretään tangentti PL=MN. Piirretään RL, RK ja KL. Piirretään RC yhtä pitkäksi kuin RH. Piirretään CD yhdensuuntaiseksi KL:n kanssa siten, että D sijaitsee janalla RL. Tällöin jana RD sivuna piirretyn neliön ala on melkein sama kuin ympyrän ala. Väite perustuu siihen, että kuten lukija voi helposti tarkistaa Pythagoraan lauseen ja yhdenmuotoisten kolmioiden avulla, janan RD pituus on yhtä kuin ympyrän säde kerrottuna luvun 355/113 neliöjuurella. Ramanujan antaa itse seuraavan esimerkin konstruktion tarkkuudesta: jos ympyrän ala on 140 000 neliömailia, niin konstruoitu jana RD eroaa "oikeasta" neliön sivusta noin yhden tuuman.

Tarkastelemme lopuksi jaksollisia ketjumurtolukuja. Sanomme, että ääretön ketjumurtoluku [a₀, a₁, ...] on jaksollinen, jos on olemassa sellainen ei-negatiivinen kokonaisluku k ja positiivinen kokonaisluku h, että

Tämä tarkoittaa siis sitä, että jonossa a₀, a₁, ... alkiosta a_k lähtien h peräkkäistä alkiota muodostavat jakson a_k, a_k+1, ..., a_k+h-1, joka toistuu yhä uudelleen ja uudelleen. Merkitään jaksoa sen muodostamien alkioiden yli vedetyllä viivalla. Jaksollinen ketjumurtoluku on siis muotoa

Sanomme, että irrationaaliluku on kvadraattinen irrationaaliluku, jos se on kokonaislukukertoimisen toisen asteen yhtälön juuri. Esimerkiksi luku on kvadraattinen irrationaaliluku, koska se toteuttaa yhtälön

(9)

Ketjumurtolukujen teorian huomattavimpia tuloksia on seuraava lause, jonka Lagrange (1736-1813) todisti vuonna 1770.

Lause. Irrationaaliluvun esitys äärettömänä ketjumurtolukuna [a₀, a₁, ...] on jaksollinen silloin ja vain silloin, kun on kvadraattinen irrationaaliluku.

Yksinkertaisimpia kvadraattisia irrationaalilukuja ovat luvut , missä d on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole neliö. Lagrangen lauseen mukaan näillä on jaksolliset ketjumurtolukuesitykset. Tässä tapauksessa voidaan vielä sanoa tarkemminkin, minkälainen esitys on muodoltaan. Voidaan nimittäin todistaa, että esitys on muotoa

missä jakson alkuosa on symmetrinen (tai puuttuu kokonaan.) Asiaa valaisemaan annettakoon muutamia esimerkkejä (joita lukija tietokoneen tai taskulaskimen avulla helposti voi hankkia lisää).

Jukka Pihko