Solmu 1/1996-1997:n tehtävien vastauksia

Suurin osa seuraavista vastauksista perustuu Baltian Tie -kilpailun tehtävänlaatijoiden antamiin malliratkaisuihin. Mikään tehtävä ei koskaan ole loppuun käsitelty. Solmu ottaa edelleen mielellään vastaan vaihtoehtoratkaisuja ja kommentteja!

1. Säännöllisen 1996-kulmion kärjestä A kahteen vierekkäiseen kärkeen B ja C piirrettyjen lävistäjien välinen kulma on puolet kaarta BC vastaavasta keskuskulmasta eli . Kahden kärjestä A piirretyn lävistäjän välinen kulma on siten jollakin k. Jos lävistäjien AB ja CD määräämät suorat leikkaavat pisteessä P ympyrän sisällä, niin . Jos suorat leikkaavat ympyrän ulkopuolella niin, että (esimerkiksi) A ja C ovat lähempänä leikkauspistettä P, niin . Kaikissa tapauksissa lävistäjien väliset kulmat ovat :n monikertoja, joten niiden suhde on rationaaliluku.
2. Olkoot janojen AP ja BP pituudet 2r ja 2s. Silloin . Tästä ratkaistaan rs=48. Olkoon M AB:n keskipiste, N PB:n keskipiste, O ympyrän C keskipiste ja F pisteen O kohtisuora projektio janalla AB. Ympyrän C säde on 3. Täten |MO|=r+s-3, |MF|=|MP|+3=r-s+3, |FN|=s-3 ja |ON|=s+3. Suorakulmaisista kolmioista MFO ja NFO saadaan . Tämä sievenee muotoon r(s-3)=3s eli 3(r+s)=rs=48. Siis |AB|=2(r+s)=32.
3. Piste Q on yhtä etäällä B:stä ja C:stä eli janan BC keskinormaalilla n. Toisaalta Q on D-keskisellä A:n kautta kulkevalla ympyrällä y. Q on siis jompikumpi y:n ja s:n kahdesta leikkauspisteestä (neliön sisällä) ja (neliön ulkopuolella). Lisäksi QP=QC, joten riittää, kun määritetään janan QC pituus. Koska on s:llä, ; lisäksi . Kolmio on tasasivuinen, joten . Siten . Lisäksi , joten . Kehäkulma ja keskuskulma vastaavat samaa y:n kaarta. Siis . Suorakulmaisesta kolmiosta, jonka kärjet ovat C, ja BC:n keskipiste, saadaan .
4. Oletetaan, että AD<BC. Olkoon O suorien AB ja CD leikkauspiste. Tehtävässä mainittu kulmien maksimaalisuus merkitsee, että pisteiden A, Q ja B kautta piirretty ympyrä sivuaa suoraa OC ja pisteiden D, P ja C kautta piirretty ympyrä sivuaa suoraa OB. Peilataan kuvio kulman AOD puolittajassa . Pisteiden D ja C peilikuvat suoralla OB ovat D' ja C' ja pisteen P peilikuva suoralla OC on P'. Koska OD':OC'=OD:OC=OA:OB, homotetia, jonka keskus on O ja kerroin kuvaa janan D'C' janalle AB. Ympyrä D'C'P' kuvautuu ympyrälle ABQ ja .
5. Tarkastetaan ensin mielivaltaista kolmiota ABC, jonka sivut ovat a, b ja c ja sisään- ja ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet ovat r ja R. Silloin pätee . Kosinilauseen nojalla yhtälön vasen puoli on nimittäin

   

   Merkitään vielä kolmion alaa T:llä ja piirin puolikasta p:llä. Silloin , ja koska , saadaan

   

   Siirrytään nyt nelikulmioon. Kaikilla neljällä kolmiolla on sama ympäripiirretyn ympyrän säde R. Jos kaarien AB, BC, CD ja DA suuruudet ovat , , ja , niin edellä sanotun perusteella ja . Mutta koska , niin , ja . Mutta aivan samoin saadaan .
6. Ratkaisija Matti Tuomi Pirkkalasta. Koska ab = cd, niin . Jos tässä yhtälössä esiintyvä murtoluku on supistetussa muodossa , niin a=kx, c=ky, d=rx, b=ry, , . Mutta silloin a+b+c+d = kx+ry+ky+rx = k(x+y)+r(x+y) = (k+r)(x+y). Tämän tulon kumpikaan tekijä ei ole 1, joten a+b+c+d ei ole alkuluku.
7. Jonon alkupään luvut ovat 1, 2, 7, 29, 22, 23, 49, 26. Modulo 6 jono alkaa siis 1, 2, 1, 5, 4, 5, 1, 2. Se, mitä on modulo 6, riippuu vain siitä, mitä ja ovat modulo 6. Näin ollen jono on jaksollinen modulo 6, eikä yksikään jonon luvuista ole 6:lla jaollinen. Erityisesti yksikään luvuista ei voi olla 0.
8. Osoitetaan induktiolla, että jonossa kahden peräkkäisen termin , suurin yhteinen tekijä on 19. Koska , . Oletetaan sitten, että ja , missä . :n ja :n pienin yhteinen monikerta on tällöin 19ab, ja . Koska luvuilla a ja b sekä b+1 ja b ei ole yhteisiä tekijöitä, . Tehtävän vastaus on siis 19.
9. Rakennetaan joukko A seuraavasti. Olkoon n-alkioisen joukon k-1-alkioisten osajoukkojen lukumäärä. Tarkastellaan eri alkulukuja , , ..., . Liitetään jokainen näistä luvuista yhteen ja vain yhteen joukon osajoukkoon . Olkoon . Olkoon nyt kaikkien niiden -lukujen tulo, joille k ei kuulu joukkoon . Todetaan, että näin konstruoitu toteuttaa tehtävän ehdot. Valitaan k-1 eri lukua , , ..., . Olkoon . Tähän joukkoon liittyvä ei konstruktion mukaan ole tekijänä yhdessäkään luvuista , mutta kyllä luvussa b; b ei voi olla tulon tekijä. Olkoon sitten mielivaltainen k-alkioinen A:n osajoukko. Lukuja , joissa mielivaltainen ei ole tekijänä, on k-1 kappaletta, joten jokainen on tekijänä ainakin yhdessä tulon tekijässä. Siten myös b on tämän tulon tekijä. Jos , on olemassa joukko niin, että , mutta . Tästä seuraa, että on :n tekijä, mutta ei ole :n tekijä. Siten ei ole :n tekijä.
10. Tehtävän luku n on kakkosen potenssi: jos olisi n=mp, missä p on pariton alkuluku, niin olisi jaollinen luvulla ja olisi siis yhdistetty luku. Osoitetaan induktiolla, että . Asia on selvä, jos k=0. Oletetaan, että . Havaitaan, että . Mielivaltaiselle luvun tekijälle q sekä q että ovat :n tekijöitä. Jokainen on suurempi kuin . Näin ollen .
11. Jokin luvuista on pienin; voidaan olettaa, että se on . Nyt on toisen asteen polynomi, joka on aidosti kasvava, kun . Tämä merkitsee, että jos , niin .
12. Polynomin P(x)=1996x+1996 juuri on -1. Siis . Polynomin eräs juuri on 1; siis . Jos , niin R(-2)=0. Siis .
13. a) Jos f on parillinen funktio, niin kaikilla saadaan . Tämä on mahdollista vain, jos f on vakio; toisaalta on ilmeistä, että kaikki vakiofunktiot toteuttavat funktionaaliyhtälön. b) Jos f on pariton, niin sama päättely kuin edellä antaa kaikilla f(x)=-f(x-1)=f(1-x). Koska f on pariton, f(0)=-f(0)=0. Edelleen f(1)=f(1-1)=f(0)=0. Oletetaan, että f(k)=0, . Silloin f(k+1)=f(1-(k+1))=f(-k)=-f(k)=0. Induktioperiaatteen nojalla f(k)=0 kaikilla . Luonnollisesti f(k)=-f(k)=0 myös kaikilla .
14. Olkoot pisteiden ja koordinaatit ja , i=1, 2, ..., n. Silloin

    

    ja kysytty kotangenttien summa on

    

    Mutta luvut ja ovat n:nnen asteen yhtälöiden f(x)-b=0 ja f(x)-c=0 kaikki juuret. Koska n>1, molemmilla yhtälöillä on sama :n kerroin, joka on sama kun juurien summan vastaluku. Siis , joten kysytty kotangenttisumma on 0.
15. Jos , niin tehtävän epäyhtälö on . Jotta tämä olisi voimassa, kun x<1 ja kun x>1, on oltava 2a+b=2. Tarkastellaan sitten tapausta n=4 ja , . Epäyhtälö saa muodon . Tämä epäyhtälö voi toteutua suurilla x:n arvoilla vain, jos ja . Onkin siis oltava 2a=1, b=1. On vielä todistettava, että tehtävän epäyhtälö todella pätee, kun ja b=1. Tämä nähdään käyttämällä hyväksi Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöä . Kun nimittäin tähän epäyhtälöön sijoitetaan ja (, jos j>n), saadaan täsmälleen tehtävän epäyhtälö (toiseen potenssiin korotettuna).
16. Numeroidaan vaakarivit ja jaetaan taso -laatoiksi, "dominoiksi", esim. niin, että vaakarivit, joiden järjestysnumero on kolmella jaollinen, jaetaan kyljellään makaaviksi dominoiksi ja näiden rivien väliin jäävät kaksi vaakariviä pystyssä seisoviksi dominoiksi. Silloin jokaiseen -neliöön sisältyy ainakin yksi kokonainen domino. Toinen pelaaja voi estää aloittajan voiton täyttämällä aina toisen ruudun siitä dominosta, johon aloittaja on jo tehnyt merkinnän. Tässä prosessissa aloittaja joutuu aina tekemään merkinnän dominoon, jossa ei vielä ole merkintää.
17. Koska A=143-D ja , niin . A:n ensimmäinen numero on 1 ja toinen joko 3 tai 4. Jos A:n toinen numero olisi 4, olisi ja . Mutta 0 ja 2 eivät ole sallittuja numeroita, eikä A voi olla 141, joten A: toinen numero on välttämättä 3. A:n kolmannen numeron ja D:n summan on oltava 13. Tämä voi tapahtua kuudella eri tavalla: 13=4+9=5+8=6+7=7+6=8+5=9+4. B:n ja C:n viimeisten numeroiden summan on oltava 13. Silloin B:n ja C ensimmäistenkin numeroiden summa on 13. Kun A ja D on valittu, jää jäljelle 4 numeroa, joista voidaan muodostaa kaksi paria, joiden summa on 13. Näistä kumpi hyvänsä voi muodostaa B:n ja C:n ensimmäiset numerot. Toiset numerot voidaan sitten vielä valita kahdella eri tavalla. Kaikkiaan mahdollisuuksia on kappaletta.
18. Jos joka istunnossa erotetaan ainakin 2 jäsentä, niin 15 istunnon jälkeen koko tuomaristo on erotettu. Jos jossain istunnossa ketään ei eroteta, ei niin tapahdu tulevissakaan istunnoissa. Jotta erottamisistuntoja voisi olla enemmän kuin 15, on joissain istunnoissa erotettava vain yksi jäsen. Olkoon ensimmäinen istunto, jossa näin tapahtuu, k:s istunto. Oletamme, että tuossa istunnossa oli 2n+1 äänestäjää ja että erotettu henkilö oli hra K. Silloin ainakin n+1 henkilöä piti herra K:ta epäpätevänä, mutta enintään n jäsentä piti ketään muuta epäpätevänä. Seuraavassa istunnossa on silloin 2n äänestäjää, eikä yksikään jäsen saa epäpätevyysääntä yli puolelta äänestäjistä. Jos , niin jurysta on poistettu ainakin edustajaa. Siis . Oletamme sitten, että istunnossa, jossa K poistettiin, äänesti 2n edustajaa. Seuraavassa istunnossa on silloin pariton määrä äänestäjiä. Sama tilanne jatkuu, kunnes poistettavia on taas pariton määrä, joko 1 tai ainakin 3. Tapahtukoon tämä m:nnessä istunnossa. Jos poistettavia on tuolloin 1, poisto on samalla viimeinen samasta syystä kuin edellä. Samoin kuin edellä, jos , niin poistettavien määrä on ainakin . Tämä on mahdotonta, koska viimeisessä istunnossa on ollut vain 1 jäsen, joka ei ole voinut poistaa itseään. Jos taas m:nnessä istunnossa poistetaan yli kolme jäsentä, on m:nnen istunnon jälkeen äänestäjien määrä taas parillinen. Voidaan palata odottamaan kierrosta, jolla erotetaan yksi jäsen; tätä kierrosta ennen erotettujen jäsenten määrä on tässä tapauksessa ainakin 2 kertaa kierrosten määrä.
19. Ensimmäinen pelaaja voittaa: hän voi valita tikkuja kahdesta kasasta niin, että tikkujen lukumäärät ovat 38, 38, 38 ja 70. Mitä tahansa toinen tekeekin, ensimmäinen pelaaja voi palauttaa tilanteen muotoon a, a, a, b; . äärellisen vuoromäärän jälkeen ollaan ensimmäisen pelaajan tekemän noston jälkeen tilanteessa 0, 0, 0, c; , jolloin toinen pelaaja ei voi enää tehdä siirtoaan.
20. Koska aritmeettisen jonon määrittää kaksi lukua, sen ensimmäinen termi a ja peräkkäisten lukujen erotus d, on mahdollista asettaa kaikki positiivisista kokonaisluvuista koostuvat aritmeettiset jonot numerojärjestykseen , , ...(Parit voidaan panna esim. jonoon , , , , , , ...). Määritellään jono asettamalla ja määritellään on :n pienimmäksi :ää suuremmaksi termiksi. Väitetään, että joukossa ei ole kolmea termiä, jotka olisivat aritmeettisessa jonossa. Oletetaan, että , ja olisivat tällaisia. Silloin olisi :n ja :n keskiarvo, mutta koska ja , . Osoitetaan vielä, että joukon luvuista ei voi muodostaa päättymätöntä aritmeettista jonoa: jos sellainen olisi, se olisi jokin jonoista . Mutta jokaisesta jonosta on jo valittu jokin alkio jo joukkoon A.