Solmun 2/1996-1997 tehtävät

Myöhempien viittausten helpottamiseksi Solmun tehtäväosasto ryhtyy käyttämään ratkaistavaksi tarjotuista tehtävistä juoksevaa numerointia. Siksi aletaan numerosta 21.

21. Kellon osoittimet ovat päällekkäin kello 12. Milloin ne ovat seuraavan kerran päällekkäin?
22. Todista, että kolmen peräkkäisen kokonaisluvun kuutioiden summa on jaollinen kolmella.
23. Todista, että on jaollinen 10:llä.
24. Osoita, että a(a+1)(a+2)(a+3)+1 on kaikilla kokonaisluvuilla a kokonaisluvun neliö.
25. Ratkaise yhtälöryhmä

    

    missä x>0, y>0.
26. Todista, että viiden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden summa on jaollinen viidellä, mutta ei jaollinen 25:llä.
27. Onko olemassa kokonaislukuja m ja n, jotka toteuttavat yhtälön ?
28. Sievennä lauseke

    

    sellaiseen muotoon, että nimittäjässä ei esiinny murtolausekkeita.
29. Merkitään luvun x 10-kantaista logaritmia :llä. Laske lukujen ja avulla.
30. Ratkaise yhtälö .
31. Todista: kun , niin .
32. Piirretään ympyrä niin, että se sivuaa tasakylkisen kolmion kylkiä ja kolmion a-pituinen kanta on ympyrän jänne. Määritä ympyrän säde r a:n ja kolmion korkeuden h avulla.
33. Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajan pituus kolmion kateettien a ja b avulla.
34. Ympyrällä, neliöllä ja tasasivuisella kolmiolla on sama pinta-ala. Laske näiden kuvioiden piirien suhde.
35. Määritä se ympyrän keskuskulma, jota vastaavan segmentin jänne on yhtä pitkä kuin segmentin sisään piirretyn mahdollisimman suuren ympyrän piiri.