Monitahokasta sanotaan säännölliseksi, jos se on kupera (mitkä tahansa kaksi sisäpistettä voidaan yhdistää janalla, joka on kokonaan monitahokkaan sisällä), jos sen kaikki tahkot ovat yhteneviä ja jos jokainen monitahokkaan kärki on yhteinen samalle määrälle tahkoja. Säännöllisiä monitahokkaita, joita kutsutaan myös Platonin monitahokkaiksi, on olemassa vain kansikuvassa näkyvät viisi kappaletta. Tämän asian todistus sisältyy Euklideen Elementa-teoksen kolmanteentoista kirjaan ja on koko kyseisen teoksen huipentuma. Käymme lyhyesti läpi asian perustelun.
Monitahokkaan jokainen kärkipiste on yhteinen vähintään kolmelle eri tahkolle, jotka ovat säännöllisiä monikulmioita. Jos määrättyyn kärkeen liittyvät tahkot irroitetaan kappaleesta, leikataan auki yhtä särmää pitkin ja levitetään tasoon, on näin saatavan kulman oltava pienempi kuin täysikulma. Täten ainoastaan seuraavat viisi tapausta ovat mahdollisia:
Pidämme kappaleiden olemassaoloa annettuna tosiasiana ja katsomme Eulerin kaavan avulla, miten voidaan päätellä kappaleiden tahkojen, kärkien ja särmien lukumäärät. On helppo nähdä, että kuudesta neliöistä muodostuu kuutio ja että neljästä tasasivuisesta kolmiosta muotoutuu tetraedri, mutta voi olla hankalampi tajuta, kuinka monta viisikulmiota tarvitaan monitahokkaan muodostamiseksi. Olkoon tahkoja T kappaletta. Koska joka tahkossa on viisi sivua ja jokainen särmä on yhteinen kahdelle tahkolle, on särmien määrä S = 5T/2. Koska jokaisessa tahkossa on viisi kärkeä ja jokainen tahokkaan kärki on yhteinen kolmelle tahkolle, on kärkien lukumäärä K = 5T/3. Sijoittamalla nämä Eulerin kaavaan, saadaan T = 12. Kärkien määrä on K = 5 * 12/3 = 20 ja särmiä on S = 5 *12/2 = 30; kappale on säännöllinen 12-tahokas eli dodekaedri.
Jokaisella Platonin kappaleella on ns. duaalinen kappale, joka saadaan aikaan yhdistämällä sivutahkojen painopisteet lähinnäolevien tahkojen painopisteisiin. Duaaliset kappaleet ovat myös säännöllisiä monitahokkaita. Laadi taulukko Platonin kappaleiden tahkojen, särmien ja kärkien lukumääristä ja päättele siitä, mikä on minkäkin duaalinen kappale.
Vuosisatojen saatossa Platonin kappaleet ovat olleet myös taikauskoisten pohdintojen kohteina. Antiikin ihmiset liittivät neljä niistä tuon ajan tunnettuihin peruselementteihin veteen, tuleen, maahan ja ilmaan. Viides kappale, dodekaedri, liitettiin myöhemmin eetteriin. Kepler yritti suhteuttaa planeettojen keskimääräisiä etäisyyksiä Auringosta sisäkkäin asetettujen Platonin kappaleiden sisään ja ympäri piirrettyjen pallojen säteisiin. (Tästä on mielenkiintoinen kuvaus Raimo Lehden teoksessa "Tanssi Auringon ympäri", Gummerus 1989, ISBN 951-749-104-2) Kappaleita on myös käytetty taikakaluina. Nykyisin niitä voi ostaa arpanoppina ns. roolipelitarvikkeita myyvistä liikkeistä.
Matemaatikoita Platonin kappaleet kiinnostavat symmetrioittensa takia. Kappaleilla on lukuisia symmetria-akseleita, joiden ympäri voidaan suorittaa kiertoja niin, että kierretyt kappaleet yhtyvät alkuperäisiin kappaleisiin. Kiertoja voidaan yhdistellä ja ne muodostavat järjestelmiä, joita matematiikassa kutsutaan ryhmiksi. Ryhmäteoria syntyi 1800-luvulla ja ryhmät ovat osoittautuneet yhdeksi kaikkein tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä. Ne sukeutuvat esiin mitä merkillisimmissä yhteyksissä sekä matematiikassa että uudemmassa fysiikassa. Platonin kappaleiden pyörittely havainnollistaa eräitä äärellisiä ryhmiä. Jotkut matemaatikot kutsuvatkin Platonin kappaleita symmetriaryhmiensä varjoiksi! Lisää tietoa ryhmistä löytyy esimerkiksi Spectrum-tietokirjan algebra-artikkelista. Tutustu myös matemaattiseen multimediaan ja ryhmäteorian historiaan.
