Mitä tekee topologi?

Muistaakseni olen aina pitänyt matematiikasta. Lapsena toiveammattini ei kuitenkaan ollut matemaatikko vaan astronautti. Tullessani yliopistoon 1983 aloin opiskella kemiaa. Fysiikan kautta vaihdoin opiskelualani matematiikkaan, josta väittelin tohtoriksi 1991. Väittelyni jälkeen olen työskennellyt tutkijana sekä Suomessa että ulkomailla. Tällä hetkellä hoidan assistentin virkaa Helsingin yliopiston matematiikan laitoksella.

Työhöni kuuluu jonkin verran opetusta, eli laskuharjoitusten pitoa. Suurin osa ajasta kuluu tutkimiseen. Tutkimusalani on algebrallinen ja differentiaalitopologia. Kuluneen, mutta toivottavasti hyväntahtoisen, sanonnan mukaan topologi on henkilö, joka ei erota munkkirinkilää kahvikupista. Toistaiseksi en ole nähnyt yhdenkään topologin yrittävän syödä kahvikuppia. Pitää kuitenkin paikkansa, että munkkirinkilä ja kahvikuppi ovat homeomorfisia, eli topologin näkökulmasta katsoen sama asia. Tämä tarkoittaa sitä, että munkkirinkilän muotoisesta, joustavasta aineesta tehdystä kappaleesta voidaan venyttämällä saada kahvikupin muotoinen. (Kummassakin on esim. "yhtä paljon reikiä".) Topologeja siis kiinnostaa kysymys, mitkä matematiikassa esiintyvät kappaleet tai avaruudet ovat homeomorfisia keskenään. Niin äärellis- kuin ääretönulotteisten objektien keskinäistä homeomorfisuutta voidaan tutkia. On mielenkiintoista, että suurimpiin vaikeuksiin yleensä törmätään pienissä ulottuvuuksissa kolme ja neljä.

Usein patologisimmista (joidenkin mielestä mielenkiintoisimmista) tapauksista pääsee eroon, kun olettaa tutkittavalla kohteella olevan differentioituvan rakenteen. (Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että tutkittavien objektien välisiä funktioita voidaan derivoida ja integroida.) Topologian tutkiminen differentiaalilaskentaa hyväksikäyttäen on differentiaalitopologiaa. Toisaalta on olemassa topologisia invariantteja, eli ominaisuuksia, jotka ovat samoja homeomorfisille avaruuksille aivan riippumatta siitä onko näillä avaruuksilla differentioituva rakenne vai ei. Usein tällaisten invarianttien tutkimisessa tarvitaan monimutkaista algebraa. Tällöin voidaan puhua algebrallisesta topologiasta.

Kuten edellisistä kappaleista voi päätellä, on tutkimukseni hyvin teoreettista, enkä esim.\ tee mitään mittauksia kuten kokeellisempien alojen tutkijat. Omasta mielestäni tällainen teoreettisuus on yksinomaan hauskaa. Kun laboratorioita ja mittalaitteita ei tarvita, matematiikkaa voi vallan mainiosti tutkia sekä kesämökillä että junassa. Tutkimus ei myöskään voi lopahtaa siihen, että projektilta loppuvat rahat tarvittavien laitteiden ostoon. Matemaatikko joutuu lukemaan paljon vähemmän kuin esimerkiksi humanististen alojen tutkijat, mutta toisaalta yhtä lausetta voi joutua miettimään hyvinkin pitkään! Matemaattiset artikkelit ovat nimittäin yleensä varsin lyhyitä, 10-20 sivua on aika tavallinen pituus.

Muihin tieteisiin verrattuna minua matematiikassa viehättää eniten sen eksaktisuus ja ajasta riippumattomuus. Kun jokin matemaattinen tulos on todistettu ja oikeaksi havaittu, se myös pysyy oikeana vuosisadasta toiseen. Antiikin kreikkalaisten geometriaa opetetaan (tai ainakin pitäisi opettaa!!) yhä kouluissa. Toisaalta matematiikassa ei sen eksaktin luonteen vuoksi voi olla kilpailevia koulukuntia, jotka yrittäisivät väittää toistensa tuloksia vääriksi. Matemaattisen väitteen todistus joko on oikein tai ei ole. Todistuksen paikkansa pitävyydestä kuka tahansa ongelmaan perehtynyt matemaatikko voi ottaa selvää lukemalla sen.

Marja Kankaanrinta
matematiikan laitos
Helsingin yliopisto