Eulerin monitahokaskaava

Tutkimamme monitahokkaat ovat tasojen rajaamia kolmiulotteisia reiättömiä kappaleita. Kappaleita rajoittavien tasojen osia (monikulmioita) kutsutaan tahkoiksi, tahkojen leikkausviivoja särmiksi ja särmien päätepisteitä kärjiksi. Jokainen särmä on yhteinen kahdelle tahkolle. Otamme tehtäväksi tutkia tahkojen, särmien ja kärkien lukumäärien välistä riippuvuutta. Olkoon tahkoja T, särmiä S ja kärkiä K kappaletta. Oletetaan edelleen, että tahkojen kulmamäärät ovat

Koska jokaisessa tahkossa on särmien määrä sama kuin kulmien määrä ja jokainen särmä on yhteinen kahdelle tahkolle, on

Monitahokkaan kaikkien tahkojen kaikkien kulmien summaan sisältyy tieto tutkittavien osien lukumääristä, joten laskemme kyseisen kulmasumman kahdella eri tavalla. Olkoon tämä summa X. Koska tasossa olevan n-kulmion kulmien summa on , on

Ajatellaan nyt monitahokas projisoiduksi tasoon siten, että jokaisen tahkon projektio on kulmamäärältään tahkoa vastaava monikulmio. Tämä on mahdollista, koska tahokkaassa on äärellinen määrä tahkoja ja särmiä ja tahokas voidaan projisoida äärettömään moneen suuntaan. Jos kaikissa projektioissa jokin tahko projisoituisi janaksi tai jokin särmä pisteeksi, täytyisi tahkoja ja särmiä olla ääretön määrä. Projektiokuvio on monikulmio, jossa on päällekkäin tahokkaan ylä- ja alapuolen kuva. Oheinen kuvio pyrkii havainnollistamaan tilannetta. Selvyyden vuoksi voi ylä- ja alapuolen kuvia ajatella erillisinä. Olkoon projektiokuvan reunalla kappaletta tahokkaan kärkien projektioita, alapuolisen kuvan sisällä kpl kärkien projektioita sekä yläpuolisen kuvan sisällä kappaletta kärkien projektioita. Tällöin kaikkien kulmien summa on

Vertaamalla X:n lausekkeita saadaan T - S + K = 2. Tätä kutsutaan Eulerin monitahokaskaavaksi, joissakin kirjoissa myös Eulerin-Descartesin kaavaksi. Descartes keksi kaavan vuonna 1639, mutta se tuli tunnetuksi Eulerin uudelleen keksimänä vuonna 1751.