Solmun tehtävät

Solmun tehtäväpalstalla julkaistaan koulukirjan tehtäviä vaativampia ongelmia. Tehtävien lähde on yleensä jokin matematiikkakilpailu, ja kilpailijoilla on ollut vain rajallinen aika yrittää ratkaisua. Oikea matemaatikko ei suinkaan aina ratkaise ongelmaansa ensi tapaamisella, vaan miettii kysymyksiään sitkeästi ja eri aikoina. Jos otat ongelman miettiäksesi, älä hylkää sitä heti, kun se alkaa tuntua ylivoimaiselta. Ratkaiseva idea voi tulla yön nukkumisen jälkeen tai ensi viikolla.

Tällä kertaa tarjolla on tehtäviä runsaasti. Ratkaistavana ovat 7. kansainvälisen Baltian tie -joukkuematematiikkakilpailun tehtävät. Kilpailu pidettiin marraskuun alussa Päivölän kansanopistolla Valkeakoskella, ja mukana oli viisihenkinen lukiolaisjoukkue Suomesta, Ruotsista, Norjasta, Islannista, Tanskasta, Puolasta, Liettuasta, Latviasta, Virosta ja Pietarista. Ratkaisuaikaa oli neljä ja puoli tuntia, ja kaikki joukkueen viisi jäsentä tekivät yhteistä työtä. Kilpailun voitti Puolan joukkue, joka sai ratkaistuksi 18 tehtävää oikein. Seuraavina olivat Latvia ja Ruotsi; Suomi (Lauri Hallilla, Antti Honkela, Tuomo Hyyryläinen, Peter Hästö ja Tomas Östman) oli kuudes.

Kokeile tehtäviä! Ne eivät ole mahdottomia. Jos onnistut ratkaisemaan niitä, niin lähetä tuotoksesi minulle, joko tavallisessa postissa osoitteeseen

 Matti Lehtinen
  Peukaloisentie 4 A 6
  00820 Helsinki,

tai sähköpostiosoitteeseen matti.lehtinen@helsinki.fi.

Parhaat ratkaisut julkaistaan seuraavassa Solmussa.

1. Olkoot ja mitkä tahansa kaksi kulmaa, joiden kyljet sisältävät säännöllisen 1996-kulmion lävistäjät. Todista, että on rationaaliluku.
2. Alla olevan kuvan ympyrä C sivuaa kahta puoliympyrää ja janaa PQ, joka on kohtisuorassa halkaisijaa AB vastaan. Varjostetun alueen pinta-ala on  , ja ympyrän C ala on . Laske halkaisijan AB pituus.

   

3. Olkoon ABCD yksikköneliö, ja olkoot P ja Q sellaisia tason pisteitä, että Q on kolmion BPC ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja D on kolmion PQA ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Etsi kaikki janan PQ mahdolliset pituudet.
4. ABCD on puolisuunnikas ( ). P on sellainen suoran AB piste, että on suurin mahdollinen. Q on sellainen piste suoran CD piste, että on suurin mahdollinen. Olettaen, että P on janalla AB, osoita, että .
5. Olkoon ABCD ympyrän sisään piirretty konveksi nelikulmio, ja olkoot , , , kolmioiden BCD, ACD, ABD, ABC sisään piirrettyjen ympyröiden säteet. Osoita, että .
6. Olkoot a,b,c,d sellaisia positiivisia kokonaislukuja, että ab=cd. Osoita, että a+b+c+d ei ole alkuluku.
7. Kokonaislukujono on sellainen, että , , ja kun ,

   

   Osoita, että kaikilla n:n arvoilla .

8. Tutkitaan jonoa

   

   kun , missä tarkoittaa a:n ja b:n pienintä yhteistä monikertaa. Etsi lukujen ja suurin yhteinen tekijä.

9. Olkoot n ja k kokonaislukuja, . Etsi joukko A, joka koostuu n:stä kokonaisluvusta, ja kokonaisluku b, jotka täyttävät seuraavat ehdot:
   1. Yksikään k-1:n A:n eri alkion tulo ei ole b:llä jaollinen.
   2. Jokainen k:n A:n eri alkion tulo on b:llä jaollinen.
   3. Jos a ja a' ovat A:n alkioita, a' ei ole a:lla jaollinen.
10. Merkitään d(n)llä positiivisen kokonaisluvun n erisuurten positiivisten tekijöiden lukumäärää (mukaan lukien 1 ja n). Olkoot a>1 ja n>0 sellaisia kokonaislukuja, että on alkuluku. Todista, että

    

11. Reaaliluvuilla on seuraava ominaisuus: jos W on mikä tahansa toisen asteen polynomi, ainakin kolme luvuista on yhtä suuria. Osoita, että ainakin kolme luvuista on yhtä suuria.
12. Olkoon S kokonaislukujoukko, joka sisältää luvut 0 ja 1996. Oletetaan myös, että S sisältää jokaisen sellaisen polynomin juuret, jonka kertoimet sisältyvät S:ään ja joka ei ole identtisesti nolla. Osoita, että S sisältää luvun -2.
13. Tarkastellaan kokonaislukujen joukossa määriteltyjä funktioita f, jotka toteuttavat ehdon

    

    kaikilla kokonaisluvuilla x. Etsi kaikki tällaiset a) parilliset, b) parittomat funktiot.

14. Funktion (missä n>1) kuvaaja leikkaa suoran y=b pisteissä  , , ...,  (vasemmalta oikealle) ja suoran y=c ( ) pisteissä ,  , ...,  (vasemmalta oikealle). Olkoon P suoran y=c piste, joka sijaitsee pisteen oikealla puolella. Laske summan arvo.
15. Mille positiivisille reaaliluvuille a,b pätee epäyhtälö

    

    kaikille kokonaisluvuille n>2 ja kaikille positiivisille reaaliluvuille ?

16. Kaksi pelaajaa merkitsee vuorotellen äärettömän neliöruudukon jo merkitsemättömiä ruutuja. Toinen käyttää merkkiä , toinen merkkiä . Ensimmäinen, joka täyttää -neliön omilla merkeillään, voittaa. Voiko aloittava pelaaja aina voittaa?
17. Käyttäen kutakin kahdeksasta numerosta 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 tasan kerran muodostetaan kolminumeroinen luku A, kaksinumeroiset luvut B ja C (B<C) ja yksinumeroinen luku D. Lisäksi pätee, että A+D=B+C=143. Monellako tavalla luvut voidaan valita?
18. Olympialaisten tuomaristossa on 30 jäsentä. Tuomariston jokaisen jäsenen mielestä osa hänen kollegoistaan on päteviä ja kaikki muut epäpäteviä. Nämä mielipiteet eivät muutu. Jokaisen istunnon alussa pidetään äänestys jokaisen jäsenen pätevyydestä. Sen jälkeen tuomaristosta erotetaan sellaiset jäsenet, joita ei pidä pätevänä aito enemmistö (yli puolet) äänestäjistä. Osoita, että korkeintaan 15 istunnon jälkeen tuomariston kokoonpano ei enää muutu. (Huomaa, että kukaan ei äänestä omasta pätevyydestään.)
19. Neljässä kasassa on kussakin 38, 45, 61 ja 70 tulitikkua. Vuorollaan pelaaja valitsee jotkin kaksi kasaa ja ottaa toisesta positiivisen määrän tulitikkuja ja toisesta myös positiivisen määrän tulitikkuja. Jos pelaaja ei voi tehdä siirtoa, hän häviää. Kummalla pelaajista on voittostrategia?
20. Onko mahdollista jakaa positiiviset kokonaisluvut kahteen erilliseen joukkoon A ja B, joille
    1. mitkään kolme A:n alkiota eivät muodosta aritmeettista jonoa, ja
    2. B:n luvuista ei voida muodostaa kasvavaa ääretöntä aritmeettista jonoa?

Kilpailun tulokset

Matti Lehtinen