Jos satunnaismuuttujan $X$ jakauma on $\chi_m^2$ (khi toiseen $m$ vapausasteella) ja satunnaismuuttujan $Y$ jakauma on $\chi_n^2$ (khi toiseen $n$ vapausasteella) ja $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia, niin satunnaismuuttujan \[ F = \frac{X/m}{Y/n} \] jakaumaa kutsutaan F-jakaumaksi vapausasteilla $(m,n)$.
Katso myös Vapausaste, Jakauma, Tilastollinen testi, T-jakauma, Studentin t-jakauma.
Fahrenheit on eräs anglosaksisissa maissa käytetty lämpötila-asteikko.
Fahrenheit-asteikolla veden jäätymispiste on $32$ fahrenheitastetta eli $32 ^{\circ}F$ ja kiehumispiste $212$ fahrenheitastetta eli $212 ^{\circ}F$.
Fahrenheitasteet muunnetaan celsiusasteiksi kaavalla $^{\circ}F = ^{\circ}C \cdot 1.8 + 32$. Celsiusasteet muunnetaan fahrenheitasteiksi kaavalla $^{\circ}C = (^{\circ}F ? 32) / 1.8$.
Symbolia $\bot$ ("falsum") käytetään usein logiikassa merkitsemään propositiolausetta, joka on määritelmän mukaan aina epätosi.
Pierre de Fermat (1601-1665) oli ranskalainen matemaatikko, joka muistetaan parhaiten nimeään kantavasta Fermat'n suuresta lauseesta. Hän väitti omaavansa tämän lauseen todistuksen, mutta ei kirjoittanut sitä muistiin.
Ammatiltaan hän oli lakimies, mutta myös erittäin taitava amatöörimatemaatikko.
Hän tutki muun muassa analyysiä (ääriarvoja, tangentteja, spiraaleja, ...) ja lukuteoriaa. Häntä pidetään Descartesin ohella analyyttisen geometrian perustajana. Hän oli myös yksi todennäköisyyslaskennan pioneereista.
Katso myös Fermat'n alkuluku, Fermat'n osamäärä, Pseudoalkuluku, Fermat'n pseudoalkuluku, Fermat'n suuri lause, Fermat'n pieni lause, Fermat'n viimeinen lause, Fermat'n spiraali, Parabolinen spiraali, Fermat-Eulerin lause, Fermat'n luku, Fermat'n piste.
Jos $a$ ja $m$ ovat suhteellisia alkulukuja eli luonnollisia lukuja, joille $\mathrm{syt}(a,m) = 1$, niin \[ a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\mathrm{mod}\ m), \] missä $\varphi(m)$ on Eulerin $\varphi$-funktio.
Katso myös Lause, Eulerin $\varphi$-funktio, Fermat.
Alkuluku, joka on muotoa $F_{n} = 2^{2^n}+1$. Pierre de Fermat (1601--1665) uskoi, että kaikki tätä muotoa olevat luvut ovat alkulukuja, mutta hän erehtyi. Luvut $F_{0} = 3$, $F_{1} = 5$, $F_{2} = 17$, $F_{3} = 257$ ja $F_{4} = 65537$ ovat kyllä alkulukuja, mutta $F_{5} = 4294967297 = 641\cdot 6700417$ ei ole. Ei tiedetä, onko edellä mainittujen lisäksi olemassa muita Fermat'n alkulukuja.
Katso myös 17, Viisi, 5, Alkuluku, Seitsemäntoista, Fermat, Fermat'n luku.
Muotoa $F_{n} = 2^{2^{n}}+1$ olevia lukuja kutsutaan Fermat'n luvuiksi. Ensimmäiset Fermat'n luvut ovat $3$, $5$, $17$, $257$, $65537$, $4294967297$.
Viisi ensimmäistä Fermat'n lukua ovat alkulukuja, mutta kuudes, seitsemäs, kahdeksas ja yhdeksäs eivät ole. Ei tiedetä, onko jokin muu Fermat'n luku alkuluku, mutta tiedetään, että mitkä tahansa kaksi eri Fermat'n lukua ovat suhteellisia alkulukuja.
Mielenkiintoista on, että $n$-sivuinen monikulmio voidaan piirtää pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen jos ja vain jos $n$ on eri Fermat'n alkulukujen ja luvun $2$ potenssin tulo.
Fermat'n luvuista ainoastaan $F_{0} = 3$ on kolmioluku. Yksikään Fermat'n luku ei ole neliö- tai kuutioluku.
Katso myös Fermat'n alkuluku, Fermat.
Jos $p$ on pariton alkuluku ja $a$ luonnollinen luku,joka ei ole jaollinen $p$:llä, niin lukua $q_p(a)=(a^{p-1}-1)/p$ kutsutaan luvun~$p$ $a$-kantaiseksi Fermat'n osamääräksi.
Katso myös Seitsemän, 7, Kokonaisluku, Fermat.
Jos $p$ on alkuluku ja $a$ on luonnollinen luku, niin $$ a^{p} \equiv a (\mathrm{mod}\ p). $$ Toisin sanoen, $a^{p} - a$ on $p$:n monikerta. Jos $a$ ei ole $p$:n monikerta, niin $$ a^{p-1} \equiv 1 (mod p). $$ Toisin sanoen, $a^{p-1} - 1$ on $p$:n monikerta. Tämä tulos on Fermat-Eulerin lauseen erikoistapaus.
Katso myös Lause, Eulerin lause, Fermat.
Kolmion $ABC$ Fermat'n piste on sellainen kolmion sisäpiste $P$, jolla etäisyyksien summa $AP + BP + CP$ saa pienimmän arvonsa.
Osoittautuu, että tämä piste on niiden kolmen janan leikkauspiste, jotka yhdistävät kärjet $A$, $B$, $C$ ja kolmion $ABC$ Napoleonin kolmioiden näille vastakkaiset kärjet.
Katso myös Napoleonin kolmiot, Fermat.
$p$ on pseudoalkuluku kantaluvun $n$ suhteen, mikäli $p$ jakaa luvun $n^{p-1}-1$, mutta $p$ ei ole alkuluku. Esimerkiksi, $341$ jakaa luvun $2^{340}-1$, joten $341$ on pseudoalkuluku kantaluvun $2$ suhteen.
Katso myös Alkuluku, Yhdistetty luku, Carmichaelin luku, Fermat.
Ei ole olemassa sellaisia positiivisia kokonaislukuja $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttaisivat yhtälön $$x^{n} + y^{n} = z^{n},$$ kun $n \gt 2$ on kokonaisluku.
Ei ole olemassa sellaisia positiivisia kokonaislukuja $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttaisivat yhtälön $$x^{n} + y^{n} = z^{n},$$ kun $n \gt 2$ on kokonaisluku.
Kolmion sivujen keskipisteet, korkeusjanojen kantapisteet ja Eulerin pisteet sijaitsevat saman ympyrän kehällä. Tätä ympyrää kutsutaan Feuerbachin ympyräksi tai yhdeksän pisteen ympyräksi.
Katso myös Kolmion korkeusjana, Ympyrä, Kolmioon liittyvät ympyrät, Eulerin pisteet, Keskipiste.
Nopean Fourier'n muunnoksen (engl. Fast Fourier Transform) lyhenne.
Katso myös Lyhenne, Nopea Fourier'n muunnos.
Fibonaccin jono on lukujono $(u_n)$, jolle pätee \[ u_{n+2} = u_n + u_{n+1} \] kaikilla $n$. Yleensä vielä vaaditaan, että $u_0 = 0$ ja $u_1 = 1$. Tämän jonon alku on $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$. Jonon jäseniä kutsutaan Fibonaccin luvuiksi ja yllä annettua yhtälöä kutsutaan Fibonaccin yhtälöksi.
Katso myös Jono.
Fibonaccin lukujono $0,1,1,2,3,5,8,\ldots$ voidaan määritellä rekursiivisesti palautuskaavalla $$ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, $$ missä $a_0=0$ ja $a_1=1$. Kun merkitään $$ \varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}, $$ saadaan $n$:s Fibonaccin luku kaavalla $$ a_n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}. $$ Tämän kaavan voi todistaa induktiolla.
Katso myös 13, Kolmetoista, Viisi, 5, Kahdeksan, 8, Fibonaccin yhtälö, Palautuskaava.
Palautuskaava $u_{n} = u_{n-1} + u_{n-2}$, joka generoi Fibonaccin lukujen jonon $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$, kun asetetaan $u_0 = 0$ ja $u_1 = 1$.
Katso myös Fibonaccin luku, Korkeamman kertaluvun palautuskaava.
Olkoon annettuna kaksi suoraa $P$ ja $Q$, jotka leikkaavat toisensa pisteessä $A$, sekä kiinteä piste $X$. Tehtävänä on piirtää jana, joka kulkee pisteen X kautta, yhdistää toisiinsa suorat $P$ ja $Q$ sekä on niin lyhyt kuin mahdollista. Tätä ongelmaa ei voida ratkaista perinteisen geometrian menetelmillä. (Se on yhtäpitävä tehtävän kanssa, jossa on kaksinkertaistettava annetun kuution tilavuus.)
Voidaan kuitenkin osoittaa, että ratkaisulla on seuraava ominaisuus. Olkoon jana $I$ sellainen, että se kulkee pisteen $X$ kautta sekä leikkaa suoran $P$ pisteessä $Y$ ja suoran $Q$ pisteessä $Z$. Piirretään janalle $I$ normaali, joka kulkee pisteen $A$ kautta ja leikkaa janan $I$ pisteessä $F$. Tällöin janan $FY$ pituus on sama kuin janan $XZ$ pituus.
Katso myös Suora.
Funktion $f(x)$ Fourier'n sarjassa esiintyvien trigonometristen funktioiden $\cos(nx)$ ja $\sin(nx)$ kertoimia kutsutaan funktion $f(x)$ Fourier'n kertoimiksi. Jos \[ f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(nx) + b_n sin(nx) ) \] on kyseinen Fourier'n sarja välillä $[-\pi, \pi]$, ovat funktion $f(x)$ Fourier'n kertoimet tällöin \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx, \] $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$.
Katso myös Kerroin, Integraali, Fourier'n sarja.
Funktion $f$ Fourier'n muunnos on \[ F(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) \mathrm{d}x. \] Tästä seuraa \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} F(t) \mathrm{d}t. \]
Katso myös Kuvata, Muuntaa, Muuttaa joksikin, Muunnos, Funktio, Kuvaus, Integraali.
Jaksollisen funktion $f$ esitys trigonometristen funktioiden avulla. Jos funktion $f$ jakso on $2L$ ja Dirichlet'n ehdot ovat voimassa, niin \[ f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L}, \] missä Fourier'n kertoimet $a_n$ ja $b_n$ ovat \[ a_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \cos\frac{n\pi x}{L} dx \] ja \[ b_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \sin\frac{n\pi x}{L} dx. \]
Jaksollisuuden ansiosta integroimisväliksi voidaan valita välin $[0,2L]$ sijaan yhtä hyvin mikä tahansa väli, jonka pituus on $2L$.
Katso myös $\sin$, $\cos$, Ääretön sarja, Kosini, Dirichlet'n ehdot, Fourier'n kertoimet.
Kuvio tai ilmiö, jonka rakenne toistuu samanlaisena tai saman tyyppisenä kaikissa mittakaavoissa. Rantaviiva on eräs esimerkki fraktaalista. Rantaviivan pituuden mittaamiseen liittyy seuraava paradoksi: Mitä tarkemmalla mitalla rantaviivan pituutta mitataan, sitä pidemmäksi rantaviiva osoittautuu.
Kaoottiset prosessit synnyttävät usein fraktaaleja.
Katso myös Banachin-Tarskin paradoksi, Mandelbrotin joukko, Takagin käyrä, van der Waerdenin käyrä, Dynaaminen systeemi.
Luokan havaintojen lukumäärä luokitellussa aineistossa.
Katso myös Vuotuinen, Histogrammi, Sattuma, Mahdollisuus, Kerran, Yhden kerran, Dimensio, Ulottuvuus, Benfordin laki.
Jos $A$ on $m \times n$-matriisi ja $A^{*}$ on matriisin $A$ hermitoitu matriisi, on matriisin $A$ Frobeniuksen normi luku \[ \sqrt{\text{tr}( A^{*}A )} = \sqrt{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |A_{ij}|^2}. \] Frobeniuksen normi on vektorien euklidisen normin yleistys matriiseihin.
Katso myös Euklidinen normi, Hermitoitu matriisi.
Sääntö lukujen muuttamiseksi toisiksi luvuiksi. Sääntö voisi esimerkiksi olla: kerro kahdella ja lisää yksi. Tämä sääntö muuttaa luvun $3$ luvuksi $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ja luvun $4$ luvuksi $2 \cdot 4 + 1 = 9$.
Funktio eli kuvaus on erityinen relaatio kahden joukon välillä, jossa jokaiseen ensimmäisen joukon alkioon liittyy täsmälleen yksi toisen joukon alkio (ensimmäisen joukon alkion kuva). Ensimmäistä joukkoa kutsutaan funktion määrittelyjoukoksi ja toista joukkoa maali- tai arvojoukoksi.
Monia funktioita voidaan parhaiten havainnollistaa niiden kuvaajien avulla.
Olkoot $A$ ja $B$ joukkoja. Funktio $f : A \to B$ on niiden järjestettyjen parien $(a,b)$, missä $a \in A$ ja $b \in B$, muodostama joukko $f$, joka toteuttaa ehdot:
1) Jokaisella $a \in A$ on olemassa sellainen $b \in B$, jolla $(a,b) \in f$.
2) Jos $(a,b) \in f$ ja $(a,c) \in f$, niin $b = c$.
Sitä yksikäsitteistä alkiota $y$, jolla $(x,y) \in f$, merkitään $f(x)$.
Katso myös Algebra, Modulo, Transformaatio, Parametri, Operaattori, Järjestys, Kuvaus, Identtinen funktio, Komplementti, Yhdistetty funktio, Vakiofunktio, Itseisarvo, Funktion argumentti, Yhdiste, Yksi yhteen kuvaus, Yksi yhteen vastaavuus, Lattia, Kokonaisosa, Minimi, Leikkaus, Pariton funktio, Kuvajoukko, Polynomifunktio, Metriikka, Käänteisfunktio, Interpoloida, Trigonometrinen funktio, Lähtöjoukko, Maalijoukko, Funktion kuvajoukko, Arvojoukko, Funktion maalijoukko, Diffeomorfismi, Homotopia, Rationaalifunktio, Testifunktio, Parillinen funktio, Ackermannin funktio, Kattofunktio, Konveksi funktio, Konkaavi funktio, Morfismi, Sulkeuma, Sileä kuvaus, Mitallinen funktio, Transsendenttifunktio, Permutaation etumerkki, Todennäköisyyden aksioomat, Alkeisdeformaatio, Momenttiemäfunktio, Askelfunktio, Riemannin zeta-funktio, Konvoluutio, Analyyttinen funktio, Gammafunktio, Hyperbolinen funktio, Algebrallinen funktio, Automorfinen funktio, Besselin funktio (ensimmäinen laji), Besselin funktio (toinen laji), Neumannin funktio, Besselin funktio (kolmas laji), Hankelin funktio, Betafunktio, Kategoria, Salausmenetelmä, Liittofunktiot, Kertymäfunktio, Määrittelyjoukko, Virhefunktio, Eulerin $\varphi$-funktio, Permutaatio, Ääriarvo, Fourier'n muunnos, Funktori, Identtinen kuvaus, Indikaattori, Bolzanon lause, Funktio.
Joukkojen $A$ ja $B$ välinen kuvaus $m$ on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon $A$ alkioon yhden $B$:n alkion. Tätä merkitään $m : A \to B$ ja sanotaan, että $m$ on kuvaus joukosta $A$ joukkoon $B$.
Jokaiseen $B$:n alkioon ei kuvauksessa välttämättä liity $A$:n alkiota; jotkut $B$:n alkiot taas saattavat liittyä useampaan kuin yhteen $A$:n alkioon.
Katso myös Identtinen kuvaus, Inkluusiokuvaus, Isomorfismi, Yksi yhteen kuvaus, Yksi yhteen vastaavuus, Injektio, Funktio, Kuvaus, Bijektio, Surjektio, Maalijoukko, Arvojoukko, Funktion maalijoukko, Homomorfismi, Lineaarikuvaus, Involuutio, Automorfismi, Funktionaali, Toiminta, Morfismi, Ekvivalenssirelaation projektio, Bilineaarinen muoto, Isomorfia, Lineaarimuunnos.
Kaikilla $x$, joilla $|x|<1$, pätee \[ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n + \ldots = \sum_{i=0}^{\infty} x^i. \] Tähän sarjakehitelmään voidaan päätyä binomilauseen avulla, Taylorin lauseen avulla tai geometrisen sarjan summaa tutkimalla.
Katso myös Taylorin sarja, Geometrisen jonon summa.
Kaikilla reaaliluvuilla $a$ pätee \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a x = a. \]
\[ \int e^{ax} \mathrm{d}x = \frac{1}{a}e^{ax} + C. \]
Katso myös $\exp$.
Funktiosta $f$ puhuttaessa sen muuttujan $x$ arvo, johon funktio liittää toisen arvon $f(x)$.
Kaksiulotteinen kuva, joka näyttää, miten toisesta muuttujasta riippuvan muuttujan arvo vaihtelee, kun tämän toisen toisen muuttujan arvo muuttuu. Yleensä kuvaan piirretään kaksi akselia ja kuvaaja, joten missä tahansa kuvaajan pisteessä pisteen etäisyydet kahdesta akselista antavat vastaavat kahden muuttujan arvot.
Funktion $f \colon A \rightarrow B$ kuvaaja on joukko $$\{ (a,f(a)) \mid a \in A \} \subset A \times B.$$ Yleensä funktion kuvaajasta puhutaan vain silloin, kun $A$ on reaaliakselin tai tason osajoukko ja $B$ on reaaliakselin osajoukko. Tällöin funktion kuvaaja voidaan mieltää joko tason tai avaruuden osajoukkona.
Katso myös Algebra.
Funktion $f \colon A \rightarrow B$ kuvajoukko on joukko $fA$, eli niiden maalijoukon pisteiden joukko, jotka funktio saa arvonaan. Funktion $f$ maalijoukko $B$ ja kuvajoukko $fA$ ovat sama joukko täsmälleen silloin, kun $f$ on surjektio.
Katso myös Injektio, Funktio, Kuvaus, Keskihajonta, Joukko, Bijektio, Surjektio, Maalijoukko, Arvojoukko, Funktion maalijoukko, Verrata, Arvo, Tuloste, Laatikko ja viikset -kuvio.
Funktion $f \colon A \rightarrow B$ maalijoukko on joukko $B$ eli niiden arvojen joukko, joita funktion voidaan periaatteessa ajatella saavan.
Funktio on surjektio, jos se saa kaikki arvot maalijoukossaan eli $fA=B$.
Kuvauksen $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2$, maalijoukko on $\mathbb{R}$, mutta $f$ ei saa esimerkiksi arvoa $-1$ missään pisteessä. Kuvauksen $f$ kuvajoukko on väli $[0, \infty)$.
Katso myös Kuvaus, Funktio, Kuvaus, Kuvajoukko, Joukko, Lähtöjoukko, Funktion kuvajoukko, Määrittelyjoukko, Funktio.
Paikka, jossa annettu funktio saa arvon nolla. Esimerkiksi jos $f(x) = 3x+3$, niin $x = -1 $ on funktion $f$ nollakohta.
Katso myös Rationaalinen nollakohta, Riemannin hypoteesi.
Kuvaus funktioavaruudelta kompleksiluvuille.
Katso myös Kuvaus, Duaali, Duaaliavaruus, Funktio.
Funktio $F$, jonka lähtöjoukko $A$ ja maalijoukko $B$ ovat kategorioita ja joka toteuttaa ehdot:
1) $F$ liittää jokaiseen kategorian $A$ alkioon $a$ kategorian $B$ alkion $F(a)$ siten, että $F(1_A) = 1_B$.
2) $F$ liittää jokaiseen kategorian $A$ kuvaukseen $f : a \to b$ kategorian $B$ kuvauksen $F(f): F(a) \to F(b)$ siten, että $F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)$ pätee kaikilla kategorian $A$ kuvauksilla $f,g$, joilla yhdistetty kuvaus $f \circ g$ on määritelty.