Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. Solmu
Sivu: 1
Lisää väitteitä ja vastauksia matematiikasta. (Luettu 29 kertaa)
Tuomas Korppi
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 15

Lisää väitteitä ja vastauksia matematiikasta.
28.01.2013 - 00:10:25
 
Pari numeroa sitten julkaisin Solmussa väitteitä ja vastauksia matematiikasta. Koska yksi yleinen väite jäi käsittelemättä, käsittelen sen täällä.

Väite: Matematiikka ei ole sen tärkeämpi oppiaine kuin mikään muukaan. [...] Ihmisen mieli ja koko maailma eivät toimi pelkän puhtaan logiikan säännöillä. (Sakari Valtiala, Helsingin Sanomat)

Vastaus: Ensinnäkin haluaisin tehdä eron väitteiden

(1) Todellisuus toimii toisin kuin logiikka väittää.
(2) Todellisuudessa on lainalaisuuksia, jotka eivät ole luonteeltaan loogisia välttämättömyyksiä.

välillä, koska nähdäkseni väite (1) on epätosi ja väite (2) tosi. Se, kumpaa alkuperäisen väitteen esittäjä tarkoittaa, on minulle mysteeri.

Käsittelen ensin väitettä (1). Kokemusteni mukaan maallikoilla on taipumus yliarvioida loogisten seuraussuhteiden määrä. Esimerkiksi monet voivat pitää väitettä

(3) Vapauteen liittyy väistämättä myös vastuu.

loogisena päätelmänä. Ottamatta kantaa siihen, mikä vapauden ja vastuun suhde oikeasti on, päätelmä ei ole luonteeltaan looginen. On nimittäin periaatteessa mahdollista, että vapaa ihminen toimii täysin vastuuttomasti.

Oma henkilöhistoriani tukee sitä, että maallikot yliarvioivat loogisten seuraussuhteiden määrän. Kun opiskelin logiikkaa sivuavia aiheita niin matematiikassa kuin filosofiassakin, oppimiseni oli luonteeltaan poisoppimista. Opin olemaan vetämättä muka-loogisia johtopäätöksiä
heppoisin perustein, ja jäljelle jäi kyky vetää loogisia johtopäätöksiä pelkästään silloin kun johtopäätös oikeasti seuraa premisseistä.

Kenties kaikkein tärkein osa tuota poisoppimistani oli opetella matemaattinen todistaminen ja omien todistusyritelmien tarkasteleminen sillä silmällä, että epäilyttävät päättelyaskeleet korjattiin vedenpitäviksi. Tämän takia pidänkin tärkeänä opettaa matemaattista todistamista, koska se auttaa karsimaan muka-loogisia johtopäätöksiä, jotka eivät oikeasti ole päteviä.

Esimerkki oikeasta loogisesta päätelmästä on seuraava:

(4) Jos "Ulkona sataa" ja "Ulkona tuulee" ovat molemmat tosia lauseita, niin myös "Ulkona sataa ja tuulee" on tosi lause.

Toinen esimerkki oikeasta loogisesta päätelmästä on seuraava:

(5) Jos "Ei ole niin, että yksikään luokan oppilaista ei ole poika" on tosi lause, niin myös "Luokalla on vähintään yksi poika" on tosi lause.

Minun on vaikea kuvitella, että kukaan kieltäisi tällaisten päätelmien pätevyyttä. Lukijasta voi ehkä tuntua siltä, että päätelmämme ovat melko itsestäänselviä, mutta matematiikan hienous on siinä, että ketjuttamalla tämäntyyppisiä päätelmiä voidaan päätyä johtopäätöksiin, jotka eivät ole ilmeisiä.

Koska minun on vaikea kuvitella kenenkään kieltävän tyyppiä (4) ja (5) olevia päätelmiä, törmätessäni väitteeseen (1) yleensä oletankin väitteen esittäjän tarkoittavan logiikalla sellaisten heppoisten johtopäätösten vetämistä, josta logiikan opiskelu auttaa pääsemään eroon.

Logiikan voidaan ajatella kertovan vain sen, milloin joukko lauseita on keskenään ristiriidassa. (Looginen seuraus asettuu tähän malliin, koska väitteestä A seuraa väite B silloin ja vain silloin, kun A ja "Ei ole niin, että B" ovat keskenään ristiriidassa.) Koska logiikka on pätevää, kaikki ristiriitaisen lausejoukon lauseet eivät voi olla tosia yhtaikaa, joten minkä tahansa totuudenmukaisen todellisuuden kuvauksen on oltava ristiriidaton.

Kuitenkin looginen ristiriidattomuuden vaatimus jättää maailman totuudenmukaiselle kuvailulle huomattavia määriä pelivaraa. Se, kuinka tuo pelivara tulee käyttää, jotta saamme todellisuuden totuudenmukaisen kuvauksen onkin empiiristen tieteiden heiniä, ja niissä saatavat tulokset eivät ole luonteeltaan loogisia välttämättömyyksiä. Tämän takia uskon, että väite (2) on tosi.

Esimerkiksi väite

(6) Painovoiman suuruus on kääntäen verrannollinen kappaleiden etäisyyden neliöön.

on tosi, mutta se ei ole luonteeltaan looginen välttämättömyys. Maailma sattuu olemaan sellainen, että (6) pätee, mutta mitään välttämätöntä syytä sille, että asia on näin, ei ole.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Sivu: 1