Tuomas Korppi
YaBB Newbies
Poissa
I Love YaBB 2!
Viestejä: 15
|
Hyvin usein, kun funktiokäsitettä opetetaan, opetetaan, että funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon maalijoukon alkioon. Tämä ei nähdäkseni pidä paikkaansa.
Sääntö on nähdäkseni jotain sellaista, joka voidaan ilmaista kielessä, esimerkiksi suomen kielessä. Koska jokainen suomen kielessä tapahtuva funktion kuvailu voidaan ilmaista äärellisenä merkkijonona äärellisessä aakkostossa, on tällaisia ilmauksia numeroituvasti ääretön määrä.
Toinen mahdollisuus on nähdä sääntö jonain sellaisena, joka voidaan laskea tietokoneella. Kaikki kunnolliset ohjelmointikielet ovat ilmaisuvoimaltaan yhteneviä, ja jollain kiinnitetyllä ohjelmointikielellä voidaan kirjoittaa numeroituvasti ääretön joukko ohjelmia (koska jokainen ohjelma on äärellinen merkkijono kiinteässä äärellisessä aakkostossa).
Näin, kummallakin tavalla saadaan se tulos, että sääntöjä on numeroituvasti ääretön määrä, joten säännön määräämiä funktioita on korkeintaan numeroituvasti ääretön määrä.
Tutkitaan sitten funktioita luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille. Jos A on mikä tahansa luonnollisten lukujen joukon osajoukko, voidaan muodostaa joukon A karakteristinen funktio, ja jos A ja B ovat eri osajoukkoja, myös niiden karakteristiset funktiot ovat eri funktiota. Näin ollen funktioita luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille on vähintään niin paljon kuin luonnollisten lukujen joukon osajoukkoja. Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että jälkimmäisten joukko on ylinumeroituva.
Siis jokaiselle funktiolle N -> N ei yksinkertaisesti riitä omaa sääntöään, joten on oltava funktioita, jotka eivät ole säännön määräämiä.
Itse asiassa tässä nähdään intuitionistisen ja klassisen matematiikan ero. Intuitionistisessa matematiikassa, joka siis ei ole yleisesti hyväksyttyä, funktiot määritellään nimenomaan säännöiksi, mutta klassisessa matematiikassa, joka on yleisesti hyväksyttyä, ylläesittämäni argumentti pätee.
Harjoitustehtäväksi voidaan jättää vaikkapa sellaisen funktion f : R -> R olemassaolon osoittaminen, joka saa kaikki reaalilukuarvot jokaisella avoimella välillä.
|