Moi!

Löysin tässä hiljattain paperiversion tuosta solmun sivuilla esiintyvästä "Kilpailumatematiikan lajeja ja periaatteita" (/olympia/kirjallisuus/kilpmatesitt.pdf). Katselin noita tehtäviä ja päätin yrittää tehtävää numero 15. Löysin omasta mielestäni pätevän ratkaisun tälle, mutta kaipaisin vielä varmistusta (katsoin mallivastauksen, mutta omani eroaa siitä paljonkin). Paperiversiossani tehtävänanto poikkeaa hiukan em. osoitteen tehvästä. Tässä ratkaisuni

15. (L) Osoita, että jokainen positiivinen rationaaliluku voidaan kirjoittaa äärellisen monen eri positiivisen kokonaisluvun käänteislukujen summaksi.

Tod. Olkoon m/n rationaaliluku. Tällöin tunnetusti
m/n = m * 1/n = 1/n + 1/n + 1/n + ... + 1/n (m kpl) (1)

Toisaalta
1/(n+1) + 1/(n(n+1)) = (n+1)/(n(n+1)) = 1/n (2)

Kaavassa (2) voidaan merkitä n+1 = a_i ja n(n+1) = b_j. Tällöin voidaan kirjoittaa
1/n = 1/a_i + 1/b_j

Kaavaa (2) voidaan soveltaa edelleen termeihin 1/a_i ja 1/b_j. Siten luku 1/n voidaan sanoa äärettömän monella tavalla positiivisten kokonaislukujen käänteislukujen summana.

Tällöin kaavan (1) nojalla seuraa väite.