Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. Solmu
Sivu: 1 2 3 
Täydellisyysaksiooma (Luettu 327 kertaa)
Usko Lahti
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 9
Tampere
Sukupuoli: male
Täydellisyysaksiooma
26.04.2008 - 14:25:08
 
Reaalilukujen määrittelyyn liittyvän täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujen joukolla on pienin yläraja.

Epäilemättä käyttökelpoinen ja kaunis aksiooma - ei kuitenkaan aivan helppotajuinen eikä ”itsestään selvä” kuten muut reaalilukujen aksioomat. Mitäpä jos koulukurssissa aksiooma muotoiltaisiin seuraavasti.

Olkoot A ja B mitä tahansa reaalilukujoukkoja siten, että  x ≤ y  kaikilla alkioilla x € A ja y € B. Tällöin on olemassa reaaliluku  z  siten, että  x ≤ z ≤ y  kaikilla x € A ja y € B.

Aksiooma on erittäin ilmeinen, kun A ja B ajatellaan lukusuoralle. Jos A ja B ovat peräkkäin kerrottuja satuja, on aksiooma selvä aivan pikkunaperoillekin. Kahden sadun välissä ehtii nimittäin aina sanomaan ”z”.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Simo Kivelä
YaBB Newbies
*
Poissa



Viestejä: 5

Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #1 - 29.05.2008 - 23:03:50
 
Lausumassa

Olkoot A ja B mitä tahansa reaalilukujoukkoja siten, että  x ≤ y  kaikilla alkioilla x € A ja y € B. Tällöin on olemassa reaaliluku  z  siten, että  x ≤ z ≤ y  kaikilla x € A ja y € B.

z ei ole yksikäsitteinen eikä tätä voi vaatiakaan. Kävisikö nyt niin, että ei voitaisi päätellä, että vaikkapa 1 ja 0.9999... ovat sama luku?

Siirry sivun alkuun
 
 
WWW   IP on kirjattu
Kaizu
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 1

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #2 - 01.09.2008 - 14:17:16
 
Minusta tuo Usko Lahden muotoilu on harvinaisen selkeä ja ymmärrettävä. Ja minusta 0,999999... ja 1 ovat eri käsitteitä - noin niin kuin jos ollaan ihan tarkkoja.
Tuo alkuperäinen määritelmä sanoo että jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujen joukolla on pienin yläraja - siis täsmällinen yksi luku. Tavallaan tuo lause kertoo sen että:
- käsite pienin yläraja tarkoittaa sitä että on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku johon joukko on rajoitettu
- käsite "yläraja" ja "ylhäältä rajoitettu" kertovat että reaaluvuille voidaan käyttää suurempi kuin ja pienempi kuin merkkejä   (ne on järjestetty ihan niin kuin Usko ehdottaa)

Minusta tuo Usko:n ehdotus on erinomainen - pitää vaan osoittaa että se on (nykyisessä muodossa tai vähän muutettuna) yhtäpitävä alkuperäisen aksioman kanssa tai että siitä voidaan johtaa reaalilukujen ominaisuudet. Tuo alkuperäinen lause on tosiaan aika hämäävä ja se ansaitsisi helpommin ymmärrettävän muotoilun.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Simo Kivelä
YaBB Newbies
*
Poissa



Viestejä: 5

Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #3 - 15.10.2008 - 18:00:31
 
Jatketaan keskustelua täydellisyysaksioomasta ja Usko Lahden sille esittämästä vaihtoehdosta, olkoon nimeltään UL. Näiden ekvivalenssi (tai ainakin syntyvien reaalilukuaksomatiikkojen yhtäpitävyys) siis pitäisi todistaa.

Selvää lienee, että pienimmän ylärajan olemassaolosta seuraa UL. Kääntäen: Jos UL pätee, joukkojen A ja B välissä on reaaliluku z, mahdollisesti useampia. Jokin näistä on pienin yläraja joukolle A. Mutta onko lukujen z joukossa pienintä elementtiä tai ainakin suurinta alarajaa? Tässä auttaisi tieto pienimmän ylärajan / suurimman alarajan olemassaolosta, mutta sitähän juuri yritetään todistaa.

Onko ongelma kierrettävissä?

Esiin nousi myös kysymys, ovatko reaaliluvut 1 ja 0.99999... samoja. Voisiko pienimmän ylärajan olemassaoloon vedoten todistaa, että ne ovat? Edellyttäen, että 0.99999... ylipäätään on reaaliluku ...

Rehellisyyden nimessä todettakoon, että tämä on vähän sokraattista keskustelua. En aina sano kaikkea ja saatan jopa johtaa harhaan ... Mutta sellaistahan debatti, matemaattinenkin, voi parhaimmillaan olla.
Siirry sivun alkuun
 
 
WWW   IP on kirjattu
Usko Lahti
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 9
Tampere
Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #4 - 17.11.2008 - 19:08:26
 
Käänteisen osan todistamiseksi valitaan joukoksi B joukon A ylärajojen joukko. Eikä tällöin mitä ilmeisemmin z = sup A?
Usko Lahti
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Simo Kivelä
YaBB Newbies
*
Poissa



Viestejä: 5

Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #5 - 21.12.2008 - 16:35:33
 
Usko Lahti kirjoitti on 17.11.2008 - 19:08:26:
Käänteisen osan todistamiseksi valitaan joukoksi B joukon A ylärajojen joukko. Eikä tällöin mitä ilmeisemmin z = sup A?
Usko Lahti


Tässä tulee ongelmaksi, että aksiooman UL mukaan välissä voi olla useita alkioita z, jolloin kysymys kuuluu, mikä näistä on sup.

Ongelma on kai kierrettävissä osoittamalla yksikäsitteisyys, jolloin saadaan aikaan tavanomaisen ja UL-aksioomasysteemin yhtäpitävyys. En nyt aivan loppun saakka miettinyt.

Syntyykö tästä sitten helpommin koulumaailmassa hahmotettava aksioomasysteemi, on minusta vähän kyseenalaista. Eihän sitä pienimmän ylärajan olemassaoloa ole pakko esittää niin hatusta tempaistuna kuin yleensä tehdään. Ja se on kuitenkin aika laajassa käytössä, mikä on arvo sekin.

SKK
Siirry sivun alkuun
 
 
WWW   IP on kirjattu
Usko Lahti
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 9
Tampere
Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #6 - 08.01.2009 - 10:43:59
 
En malta olla vertaamatta näitä täydellisyysaksiooman muotoiluja pinta-alan määrittelyssä.

Tavanomainen muotoilu

Olkoon G rajoitettu tason osajoukko, k sen sisämonikulmio (ala Sk) ja K ulkomonikulmio (ala SK).

Koska k on K:n osajoukko, on aina Sk <= SK.

Sisämonikulmioiden alojen joukko {Sk} on ylhäältä rajoitettu ja ulkomonikulmioiden alojen joukko {SK} on alhaalta rajoitettu, joten edellisen sup ja jälkimmäisen inf ovat äärellisiä ja lisäksi sup <= inf.

Jos edellä yhtäsuuruus pätee, sanotaan, että G:llä on pinta-ala, jonka arvo on S = sup{Sk} = inf{SK}.

Tähän tapaan määritellään teoksessa Myrberg. L., Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, luku 10.1.

Asian ymmärtämiseksi on hahmotettava sisämonikulmioiden alojen joukko, sen ylärajojen joukko ja pienin yläraja sekä ulkomonikulmioiden alojen joukko, sen alarajojen joukko ja suurin alaraja. Nämä eivät ole aloittelijalle itsestään selvyyksiä kuten ei myöskään pinta-alan olemassaolon ehto.

”z”-muotoilu

Aloitetaan kuten edellä. Koska aina Sk <= SK, on olemassa luku z siten, että Sk <= z <= SK. Jos tällaisia lukuja z = S on tasan yksi, sanotaan että G:llä on pinta-ala, jonka arvo on S.

Määritelmä selvästi yksinkertaistuu ja innostaa konstruoimaan joukkoja, jolla ei ole pinta-alaa.

Usko Lahti
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Matti Lehtinen
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 74

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #7 - 09.10.2009 - 08:14:41
 
Koska täydellisyysaksiooma on osa reaalilukujen määritelmää, ei sihhen tietenkään voi tulla sitä kautta, että lähdetään kahdesta reaalilukujoukosta A ja B. Ennen täydellisyysaksioomaa ei voi olla reaalilukujoukkojakaan, ainakaan lauseessa tarvittavine ominaisuuksineen (järjestyshän siinä on mukana). Muutenhan Uskon lause on sama kuin (yhdessä) reaalilukujen konstruktiivisessa määritelmässä esiintyvä Dedekindin leikkaus. Olennaista siinä on, että joukot A ja B ovat rationaalilukujen joukon ositus.

Kyllä kai koulukurssissakin mielekkäämpää kuin reaalilukujen aksiomaattinen käyttöön otto on kiinnittää huomiota rationaalilukujen riittämättömyyteen maailman kuvailemisessa ja sen kertomiseen, että asioa korjataan laajentamalla lukualuetta. "Päättymättömät desimaaliluvut" ovat käsitteenä sumea ilman jonkinlaista sarjan suppenemisen käsitystä. Tätä osoittaa yhtälön 1 = 0,9999... usein esiintyvä kyseenalaistaminen.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hannu Korhonen
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 2

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #8 - 29.12.2009 - 12:55:00
 
Koulukurssejakin on niin monenlaisia. Kuudesluokkalaisten kanssa lukua 0,999... käsiteltiin aikanaan seuraavasti. Ensin mietittiin, mitkä luvut ovat samoja. On monta mahdollisuutta, joista yksi on se, että lukujen erotus on 0. Sitten lasketaan 1 - 0,999... vaikkapa allekkain. Tuloksena on luku 0,000... Olennainen kysymys on nyt, milloin tulee nollasta poikkeava desimaali. Kuudesluokkalaisille rajatta jatkuva lainaaminen ei tuntunut olevan mikään ongelma. Vastaus on tietysti, että jokaisen nollan jälkeen tulee taas nolla. Mikä on siis sellainen luku, että desimaaliesityksessä kokonaisosa on nolla ja jokainen desimaali on nolla? Tietysti 0,000... = 0. Siis 1 - 0,999... = 0,000... = 0, mistä seuraa, että 0,999... = 1.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #9 - 07.01.2010 - 15:57:11
 
Täydellisyysaksioomasta

Täällä on suhtauduttu lähinnä skeptisesti
täydellisyysaksiooman opettamiseen lukiossa.
Seuraavassa pohditaan, mitä sen opettaminen
edellyttäisi, ja miksi se ehkä kannattaisi opettaa.
On selvää, ettei sitä voi suoraan pläjäyttää lasten
silmille lukion alkaessa. Aksiooma on suomeksi
selviö. Peruskoulussa opitun matematiikan pohjalta ei
ilmeisestikään voida pitää selviönä irrationaalilukujen
olemassaoloa. Asiaa on lähestyttävä pienin askelin,
esimerkkejä käyttäen.

On aloitettava lukioon tulevan oppilaan lukukäsityksestä.
Peruskoulun käynyt tietää desimaaliluvut, ja on laskimestaan
nähnyt, että tietyt jakolaskut antavat näytön täydeltä desimaaleja,
esim. 0,333... . Siis joidenkin lukujen jaksollisuuskin on havaittu.
Myös murtoluvut tunnetaan, (vaikka niillä ei välttämättä osata laskea).
Tältä pohjalta asiaa on ryhdyttävä rakentamaan. Seuraava polku
tuntuisi sopivalta:

1) Oletetaan pohjatiedoiksi Pythagoraan lause suuntaan '' jos kolmio
on suorakulmainen, niin ...'' , minkä yksinkertainen todistus
vaatii myös tiedon kolmion kulmien summasta. Kumpaakaan asiaa
ei nykyisin perustella peruskoulussa. Perustelut olisi kuitenkin
esitettävä, siitä lisää myöhemmin.

2) Todetaan, että jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää
kokonaislukujen suhteena. Tämä on tehtävä ''puolivillaisesti''
ilman  sarjoja aloittamalla 1-jaksoisista luvuista. Jos esim.
x=0,222..., niin 10x = 2 + x, josta x:lle seuraa murtolukuesitys.
(Sarjaoppi sisältyy syventävään kurssiin  13, joka yleensä
opiskellaan viimeisenä kurssina ennen kertauskurssia.)

3) Todetaan, että yksikköneliön lävistäjä x toteuttaa
yhtälön x2  = 2. Epäilemättä yksikköneliöllä on lävistäjä
ja sillä tietty pituus, joten ratkaisun olemassaolo ja
yksikäsitteisyys ei ole ongelma.

4) Todistetaan, että minkään rationaaliluvun neliö ei ole 2.
Tämä todistus sisältyy ohjattuna harjoitustehtävänä ainakin
yhteen lukion oppikirjasarjaan. Tuloksesta seuraa, että jos
jonkin desimaaliluvun neliö on 2, niin tällä luvulla ei ole
jaksoa. Näin nähdään vakuuttavasti, että rationaaliluvut eivät
riitä kovin kehittyneeseen matematiikkaan, sillä edes yksikköneliön
lävistäjän pituus ei ole rationaalinen. Lukualuetta on siis
laajennettava käsittämään päättymättömät, jaksottomat luvut.
Lävistäjän pituus toki osataan jo peruskoulunkin tiedoilla
merkitä \sqrt{2}:ksi.

5) Kehitetään yksinkertainen menetelmä \sqrt{2}:n likiarvon
laskemiseksi. Newtonin menetelmä ei käy, sillä nyt ollaan
opintojen alussa. Tiedot riittävät kuitenkin \sqrt{2}:n
esittämiseen päättymättömänä ketjumurtolukuna, mistä
katkaisemalla saadaan rationaalinen likiarvo.

6) Miten tästä sitten päästään pienimpään ylärajaan?
Näytetään kuten Lindelöf Johdatuksessaan (luku 8.),
että ei ole olemassa suurinta ehdon a2  < 2 eikä pienintä
ehdon b2 > 2 toteuttavaa rationaalilukua, mistä seuraa,
että ehdon a2  < 2 toteuttavien positiivisten
rationaalilukujen joukolla ei ole pienintä rationaalista
ylärajaa eikä ehdon b2  > 2 toteuttavien rationaalilukujen
joukolle ole suurinta alarajaa. Pienimmäksi ylärajaksi (ja suurimmaksi
alarajaksi) tajutaan nyt helposti \sqrt{2}. Asiaa voi havainnollistaa
muodostamalla kasvavan jonon (an ) \sqrt{2}:n rationaalisia
alalikiarvoja jaksollisista luvuista

a1  = 1,000000000...
a2  = 1,400000000...
a3  = 1,410000000...
a4  = 1,414000000...
....................,

mistä niin'ikään on helppo oivaltaa, että lukua \sqrt{2} esittävä
jaksoton luku on näiden alalikiarvojen pienin mahdollinen yläraja.

7) Nyt voidaan sanoa, että lukualue täydentyy päättymättömillä,
jaksottomilla luvuilla, siis irrationaaliluvuilla, jos vaadimme,
että jokaisella ylhäältä rajoitetulla (rationaali)lukujoukolla on
pienin yläraja. Eli siis todetaan selviönä \sqrt{2}:n kaltaisten
lukujen olemassaolo.

8) Nykyopsin mukaan järjestetyssä opetuksessa lähimmäs
täydellisyysaksioomaa päästään kursseilla 9 ja 13, joihin
sisältyy lukujonon suppenemistarkasteluja. Näillä kursseilla
on esillä monotonisen jonon suppenemislause, joka sanoo, että
kasvavalla, ylhäältä rajoitetulla jonolla on raja-arvo. Lausetta
ei voi nykyisellään todistaa, ja se annetaankin perusteluitta.
Jos nyt olisi ylärajan aksiooma käytössä, niin lause tietenkin
todistuisi, ja todistuksen yhteydessä voisi jopa tapailla
epsilonia. Nyt sen sijaan koko lause jää hieman ilmaan roikkumaan,
ehkä samalla tavalla kuin geometriassa samankohtaisia kulmia koskeva
lause, jonka avulla perustellaan kolmion kulmien summa. (Olenkin sen
takia päätynyt esittämään kolmion kulmien summan kierrättämällä
''nokkaeläintä'' kolmion piirin ympäri; eläimen kokonaiskiertymä
on täysi kulma ja samalla se on kolmion kulmien vieruskulmien summa,
mistä väite seuraa. Tämän jälkeen voi perustella Pythagoraan lauseen
tutulla neliökonstruktiolla.)

Tämän kahdeksan kohdan ohjelman voisi joku kirjoittaa
Solmu-jutuksi. Idea on vapaasti käytettävissä. Lienee mahdotonta,
että nykyisen curling-oppimisen oloissa kukaan kustantaja antaa
pistää näin vaikeaa asiaa oppikirjaan. Myynti kärsii. Curling
tarkoittaa tässä sitä, että sekä opettajat että oppimateriaalien
tekijät toimivat kuten curling-joukkueen harjaosasto siivoten kaikki
nyppylät pois lukion läpi kivenä liukuvan oppilaan tieltä. Törmäys
tapahtuu sitten vasta sitten, kun lukioksi kutsutun jäärata on ohitettu.    
     -markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Matti Lehtinen
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 74

Curlingista ja Usko Lahden täydellisyysaksioomasta
Vastaus #10 - 11.01.2010 - 06:43:09
 
Markku Halmetojan curling-analogia on mainio. Siihen voisi lisätä sen havainnon, että harjaamisesta huolimatta kivi saattaa myös jämähtää paikalleen jo ennen tavoitekohtaa.

Tuli luettua tuo ketjun aloittava Usko Lahden ehdotus uudestaan. Uskon aksioomanhan toteuttavat kaikki sellaiset järjestetyt joukot, joiden rajoitetuilla osajoukoilla aina on suurin tai pienin alkio, esimerkiksi kokonaislukujen joukko. Ei se siis oikein kelpaa reaalilukuja karakterisoimaan. Täydellisyysaksiooma tai vastaava tulee tarpeeseen silloin, kun tällaista suurinta tai pienintä alkiota ei löydy, niin kuin tuossa neliön lävistäjän ja rationaalilukujen tilanteessa.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Curlingista ja Usko Lahden täydellisyysaksioom
Vastaus #11 - 11.01.2010 - 10:04:11
 
Matti Lehtinen kirjoitti on 11.01.2010 - 06:43:09:
Tuli luettua tuo ketjun aloittava Usko Lahden ehdotus uudestaan. Uskon aksioomanhan toteuttavat kaikki sellaiset järjestetyt joukot, joiden rajoitetuilla osajoukoilla aina on suurin tai pienin alkio, esimerkiksi kokonaislukujen joukko. Ei se siis oikein kelpaa reaalilukuja karakterisoimaan.


Kelpaa se, kun se otetaan viimeiseksi aksioomaksi muiden tunnettujen lisäksi, kuten tapana on. Kokonaislukujen joukko ei toteuta käänteislukuaksioomaa.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #12 - 11.01.2010 - 10:57:03
 
Hermanni kirjoitti
Lainaus:
Kelpaa se, kun se otetaan viimeiseksi aksioomaksi muiden tunnettujen lisäksi, kuten tapana on.

tarkoittaen, että reaaliluvut määrittäviin aksioomiin voitaisiin
lisätä U.L..n esittämä lause. Mutta kun reaalilukuaksioomat
jo määrittävät reaaliluvut, ei niiden lisäksi tarvita enää muita
aksioomia. Aksioomien tulee olla toisistaan riippumattomia sikäli,
että mitään "aksioomaa" ei voi todistaa muiden perusteella.
Tuo U.L.:n "aksiooma" on itse asiassa lause, ja helppo sellainen. -markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #13 - 11.01.2010 - 11:22:35
 
Ei, vaan kysymys on siitä, voidaanko täydellisyysaksiooman tavanomainen muoto (epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukon osajoukolla on pienin yläraja) korvata Usko Lahden ehdotuksella. Ja vastaus on, että voidaan, koska tavanomainen muoto ja Uskon ehdotus ovat yhtäpitävät.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #14 - 11.01.2010 - 11:52:20
 
Eräs vaihtoehto tavanomaiselle muotoilulle on myös Bolzanon lause. Siitä nimittäin seuraa tavanomainen täydellisyysaksiooma:

Oletus: Bolzanon lause pätee.
Väite: Epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukon osajoukolla A on pienin yläraja.
Todistus: Olkoon a joukon A alkio ja b joukon A yläraja. Määritellään f: [a, b] -> R seuraavasti:

f(x) = -1, jos x ei ole joukon A yläraja
f(x) = 1, jos x on joukon A yläraja.

Jos nyt f(a) = 1 eli a on joukon A yläraja, niin a on triviaalisti pienin yläraja (koska se kuuluu joukkoon A). Voidaan siis olettaa, että f(a) = -1. Lisäksi pätee f(b) = 1.

Jos EI ole olemassa joukon A pienintä ylärajaa, funktio f on jatkuva. Perustelut: Jos x ei ole yläraja, on olemassa sitä suurempi A:n alkio, joten f saa arvon -1 luvun x lähistöllä. Jos x on yläraja, tiedetään että se ei ole pienin yläraja, joten f saa arvon 1 luvun x lähistöllä.

Siis f on jatkuva mutta ei saa arvoa 0 missään, mikä on vastoin oletusta eli Bolzanon lausetta. Siis pienin yläraja on olemassa.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Sivu: 1 2 3