Matematiikkalehti Solmun etusivu

8. Murtoluvut

Merkinnällä $ \frac{3}{5}$ on kaksi tulkintaa:

$ \frac{3}{5}$ tarkoittaa kolmea yksikön viidesosaa. Oppilaille on korostettava, että viidesosat ovat yhtä suuria!

$ \frac{3}{5}$ tarkoittaa kolmen yksikön viidesosaa.

On hyvä käyttää useita havainnollistamistapoja, esim. sektoreita.

Huom: $ 4\frac{7}{8}$ tarkoittaa $ 4+\frac{7}{8}$. Tämä luku on suuruudeltaan $ 4<4\frac{7}{8}<5$.

Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtoluvun kertominen ja jakaminen kokonaisluvulla

Laskutoimitukset aloitetaan samannimisten murtolukujen yhteenlaskulla, sitten harjoitellaan vähennyslaskua.

$ \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\quad
\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}
\...
...d 2\frac{1}{6}+3\frac{5}{6}
\quad 1-\frac{7}{9}
\quad \frac{9}{10}-\frac{4}{10}$

$ 5\frac{7}{8}-2\frac{5}{8}
\quad 5\frac{3}{7}-2\frac{6}{7}=4\frac{10}{7}-2\frac{6}{7}=2\frac{4}{7}
\quad$tai $ \quad 3+\frac{3-6}{7}=3-\frac{3}{7}=2\frac{4}{7}$

$ \frac{3}{4}+\frac{5}{8}
\quad \frac{8}{9}-\frac{11}{27}
\quad \frac{3}{4}+1\fr...
...ac{7}{24}+\frac{13}{12}-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}
\quad 3\frac{7}{10}-\frac{4}{5}$

$ \frac{3}{4}+\frac{5}{9}
\quad \frac{8}{9}-\frac{1}{5}
\quad \frac{3}{4}+1\frac{5}{7}
\quad 3\frac{7}{10}-1\frac{4}{7}=2\frac{49-40}{70}=2\frac{9}{70}$

$ \frac{5}{8}+\frac{3}{10}
\quad \frac{4}{15}-\frac{3}{20}
\quad 3\frac{3}{8}+2\frac{7}{10}=3\frac{15}{40}+2\frac{28}{40}
=5\frac{43}{40}=6\frac{3}{40}$

$ 12\frac{5}{14}-3\frac{18}{21}=9+\frac{15-36}{42}=9-\frac{21}{42}
=8\frac{1}{2}$

Ensimmäinen tapa: $ 13\frac{4}{9}-8\frac{7}{9}=12\frac{13}{9}-8\frac{7}{9}=4\frac{6}{9}
=4\frac{2}{3}$ (koska $ 1=\frac{9}{9}$)

Toinen tapa: $ 13\frac{4}{9}-8\frac{7}{9}=\left(13+\frac{4}{9}\right)-\left(8+
\frac{7}{9}\right)=5+\frac{4-7}{9}=5-\frac{3}{9}=4\frac{2}{3}$

Murtoluvulla kertominen

Esimerkki 1.

$ T=\frac{3}{5}$ osaa $ \frac{3}{4}$ osasta $ =\left(\frac{3}{4}:5\right)\cdot 3 = \frac{3}{20}\cdot 3
=\frac{9}{20}$

$ T=\frac{3}{4}$ osaa $ \frac{3}{5}$ osasta $ =\left(\frac{3}{5}:4\right)\cdot 3 = \frac{3}{20}\cdot 3
=\frac{9}{20}$

Laskemalla suorakaiteen pinta-ala saadaan $ \frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}
=\frac{9}{20}$.

Esimerkki 2.

$ T=6+5\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=6+\frac{5}{2}+\frac{1}{4}=8\frac{3}{4}$

Esimerkki 3.

$ T=3{,}5\cdot 2{,}5=3{,}5\cdot 2 +\,$puolet$ \,3{,}5$:stä$ =7+\,$puolet$ \,\frac{7}{2}$:sta

$ =7+\frac{7}{4}=7+1\frac{3}{4}=8\frac{3}{4}$

Jos ruudun pituus on metri, saadaan

$ T=3{,}5\,$m$ \cdot 2{,}5\,$m$ =35\,$dm$ \cdot
25\,$dm$ =875\,$dm$ ^2=8{,}75\,$m$ ^2=8\frac{3}{4}\,$   m$ ^2$

$ \frac{7}{2}\,$m$ \cdot\frac{5}{2}\,$m$ =\frac{35}{4}
\,$m2

Yhteenveto

$ 5\cdot 3$ tarkoittaa kertolaskun vaihdannaisuuden perusteella 5 kertaa 3 eli 3 + 3 + 3 + 3 + 3 siis 15 tai 5 kolmesti, siis 5 + 5 + 5 eli 15.

$ 15\cdot\frac{2}{3}$ tarkoittaa 15 kertaa $ \frac{2}{3} = \frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\ldots
+\frac{2}{3}=\frac{15\cdot 2}{3}=\frac{30}{3}=10$ eli $ \frac{2}{3} = \frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\ldots
+\frac{2}{3}=\frac{15\cdot 2}{3}=\frac{30}{3}=10$ tai 15 kerrottuna $ \frac{2}{3}$:lla, siis $ \frac{2}{3}$ 15:sta, eli $ (15:3)\cdot 2=5\cdot 2=10$.

Huomautus: $ 15\cdot\frac{2}{3}=(15:3)\cdot\left(\frac{2}{3}
\cdot 3\right)=5\cdot 2=10$.

$ \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}$ tarkoittaa $ \frac{4}{5}$ kertaa $ \frac{2}{3}=\frac{4}{5}$ eli $ \frac{2}{3}=\frac{4}{5}$ $ \frac{2}{3}$:sta $ =\left(\frac{2}{3}:5
\right)\cdot 4=\frac{2}{15}\cdot 4=\frac{8}{15}$ tai $ \frac{4}{5}$ kerrottuna $ \frac{2}{3}$:lla, mikä on sama kuin $ =\frac{2}{3}$ $ \frac{4}{5}$:sta $ =\left(\frac{4}{5}:3\right)\cdot 2=\frac{4}{15}\cdot 2=\frac{8}{15}$.

Murtoluvulla jakaminen

Jos 5 kg sieniä maksaa 12 euroa, niin kuinka paljon maksaa 1 kg sieniä? [12 euroa : 5 (kg) = 2,40 euroa (/kg)] Tulos saatiin jakamalla.

Jos 11 m kangasta maksaa 13,31 euroa, niin kuinka paljon maksaa 1 m kangasta? [13,31 euroa : 11 (m) = 1,21 euroa (/m)]

Jos $ \frac{1}{3}$ km vesijohdon tekoa maksaa 240 000 euroa, niin kuinka paljon maksaa 1 km vesijohtoa? [240 000 euroa $ \cdot$ 3 = 720 000 euroa, mutta myös 240 000 euroa : $ \frac{1}{3}$ (km) täytyy olla sama, 720 000 euroa.]

Jos 1,5 kg banaaneja maksaa 2,40 euroa, niin kuinka paljon 1 kg maksaa? [(2,40 euroa : 3) $ \cdot$ 2 = 1,60 euroa (/kg). Tämä on 2,40 euroa $ \cdot$ 2/3, mutta on oltava myös 2,40 euroa : 1,5 (kg) = 2,40 euroa : 3/2 (kg).]

Jos $ \frac{4}{7}$ km tietä päällystetään $ \frac{2}{15}$ tunnissa, niin kauanko kestää päällystää 1 km (oletetaan nopeus vakioksi)?

$ \frac{4}{7}$ km $ \to\ \frac{2}{15}$ tuntia

$ \frac{1}{7}$ km $ \to\ \frac{2}{15}:4=\frac{1}{30}$ tuntia

1 km $ \to\ \left(\frac{2}{15}:4\right)\cdot 7=\frac{7}{30}$ tuntia

Huomaamme myös: $ \frac{2}{15}:\frac{4}{7}=\left(\frac{2}{15}:4\right)\cdot 7
=\frac{2}{15}\cdot\frac{7}{4}$.

Esimerkkejä murtoluvulla jakamisesta

Esimerkki 1.

$ \frac{21}{40}:\frac{7}{8}=\frac{3}{5}$, koska $ \frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 8}
=\frac{21}{40}$.

Olisi voitu myös ratkaista vaiheittain päättelemällä, mistä luvusta $ \frac{7}{8}$ on $ \frac{21}{40}$:

$ \frac{7}{8}$ osaa $ \to\ \frac{21}{40}$

$ \frac{1}{8}$ osa $ \to\ \frac{21}{40}:7=\frac{3}{40}$

1 = $ \frac{8}{8}\ \to\ \left(\frac{21}{40}:7\right)\cdot
8=\frac{3}{40}\cdot 8=\frac{3}{5}$

Tarkistus: $ \frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{21}{40}$

On selvää, että $ \left(\frac{21}{40}:7\right)\cdot 8=\frac{21}{40}\cdot
\frac{8}{7}$, joten laskimme $ \frac{8}{7}$ osaa $ \frac{21}{40}$:stä.

Huomataan myös, että 7:llä jakaminen voidaan korvata sen käänteisluvulla kertomisella, kun ratkaistaan yhtälö

$ \frac{7}{8}\cdot x=\frac{21}{40}\quad \vert:7$

$ \frac{1}{8}\cdot x=\frac{21}{40}:7\quad \vert\cdot 8$

Kertomalla yhtälö puolittain 8:lla saadaan:

$ x=\left(\frac{21}{40}:7\right)\cdot 8$

$ x=\frac{21}{40}\cdot\frac{8}{7}$ = $ \frac{3}{5}$

Esimerkki 2.

$ \frac{7}{8}\cdot x=\frac{7}{12}$, joten $ x=\frac{7}{12}:\frac{7}{8}=\frac{14}{24}:\frac{21}{24}
=14:21=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$.

Esimerkki 3.

$ 8:8=1\quad 8:4=2\quad 8:2=4\quad 8:1=8\quad 8:\frac{1}{2}=16
=8\cdot 2$ ( $ \frac{1}{2}$ mahtuu 16 kertaa 8:aan)

$ 8:\frac{1}{4}=32=8\cdot 4$ ( $ \frac{1}{4}$ on 32 kertaa 8:ssa)

$ 8:\frac{2}{3}=12$, koska $ 2:\frac{2}{3}=3$ ( $ \frac{2}{3}$ sisältyy 12 kertaa 8:aan, 3 kertaa 2:een)

$ 8:\frac{4}{3}=6$ ( $ \frac{4}{3}$ sisältyy 6 kertaa 8:aan, 3 kertaa 4:ään)

$ 8:\frac{8}{5}=5$ ( $ \frac{8}{5}$ sisältyy 5 kertaa 8:aan), jne.

Esimerkki 4.

Entä $ \frac{3}{8}:\frac{2}{7}$?