Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.1994

HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.1994

1. Määritä suorakulmiosta

$\begin{displaymath}\{(x,y)\vert \le x \le 3, \textrm{ } 0 \le y \le 9\} \end{displaymath}$

sen osan pinta-ala, jossa $y \le e^{2x}$ .

2. Kaksi meluisaa diskoa ovat 300 m päässä toisistaan. Missä kohdassa diskoja yhdistävällä suoralla kadulla on hiljaisinta, kun toisen diskon äänenvoimakkuus on 4kertaa toisen äänenvoimakkuus? Tehtävässä oletamme, että äänenvoimakkuus melulähteen ulkopuolella on kääntäen verrannollinen lähteen etäisyyden neliöön. Anna vastaus metrin tarkkuudella.

3. Pankin asiakaspalvelussa on kaksi virkailijaa, joista kumpikin on keskimäärin 51 minuuttia tunnista varattuna ja lopun ajasta vapaana palvelemaan saapuvia asiakkaita. Tiedämme lisäksi, että keskimäärin 47 minuuttia tunnista molemmat virkailijat ovat yhtäaikaisesti varattuina. Pankkiin saapuu samalla hetkellä kaksi asiakasta. Mikä on todennäköisyys, että kummankaan ei tarvitse odottaa palvelua?

4. Lentokonetta, joka lentää vakionopeudella tasaisen alueen yläpuolella, seurataan kahdesta havaintopaikasta, pisteistä A ja B. Eräällä hetkellä kone on suoraan itään pisteestä A ja luoteeseen pisteestä B. Pisteessä B mitataan myös koneen korkeuskulma, joksi saadaan $26,0^{\circ}$ . Minuuttia myöhemmin kone on pisteestä A etelään ja pisteestä B länteen. Sen korkeuskulmaksi pisteessä B havaitaan nyt $21,0^{\circ}$ . Määritä lentokoneen käyttämä lentokorkeus ja vauhti, kun pisteiden A ja B välimatka on 21,6 km.

5. Superpallo, joka pudotetaan lattialle, pomppii koskettaen lattiaa ajanhetkinä t_i ( $i=1,2,\dots$ ). Jos hetkellä t_i ( $i=1,2,\dots$ ) pallon törmäysnopeus lattiaan on v_i^- ja kimmahdusnopeus lattiasta v_i⁺, voidaan olettaa (kun ilmanvastus jätetään ottamatta huomioon), että v_i⁺=v_i+1^-ja että t_i+1-t_i=kv_i⁺, missä k on vakio. Laske, kuinka kauan pallo pomppii ajanhetken t₁ jälkeen, kun jokaisessa lattiaan törmäyksessä pallo menettää 5 % liike-energiastaan ja kun ensimmäinen pomppu kestää ajan t₂-t₁=0,6 s. Ilmoita vastaus sekunteina yhden desimaalin tarkkuudella. (Liike-energian kaava on $E=\frac{1}{2}mv^{2}$ .)

6. Terraariossa elää kaksi hyönteislajia, joilla kummallakin sukupolven ikä on yksi vuorokausi. Hyönteisten elinkaari on sellainen, että aamulla aikuiset kuoriutuvat koteloista ja munivat pian, puoleenpäivään mennessä toukat syntyvät, ja illalla toukat koteloituvat ja aikuiset kuolevat. Kummankin lajin aikuisten lukumäärät vaihtelevat kolmen päivän jaksoissa seuraavasti:

laji	1. päivä	2. päivä	3. päivä
A	112	133	91
B	35	49	28

Neljäntenä päivänä lukumäärät ovat samat kuin ensimmäisenä, viidentenä samat kuin toisena jne. On luonnollista olettaa, että syntyvien toukkien lukumäärä on suoraan verrannnollinen lajin aikuisten määrään. Lisäksi tiedetään, että B-lajin aikuiset syövät A-lajin toukkia. Tällöin (kun tarkastellaan A- ja B-lajin aikuisten lukumääriä A_n ja B_n eri sukupolvissa n), voidaan ajatella, että peräkkäisissä sukupolvissa A-lajin aikuisten lukumäärät noudattavat mallia

$\begin{displaymath}A_{n+1}=aA_{n}+bB_{n} \qquad (n=1,2,\dots). \end{displaymath}$

Toteuttaako havaintoaineisto mallin, ts. voidaanko vakiot a ja bvalita siten, että malli on yhteensopiva havaintoaineiston kanssa? Minkä tiedon vakio bsisältää? Voidaanko B-lajin aikuisten lukumäärien vaihtelua selittää vastaavasti mallilla

B_n+1=cB_n+dA_n ?

Matematiikkalehti Solmu
2000-04-11