Tehtäviä

1. Osoita, että

a): $\underbrace{1\ldots 1}_{n}\underbrace{2\ldots 2}_{n}- \underbrace{3\ldots 3}_{n}$ ja
b): $\underbrace{4\ldots 4}_{n}\underbrace{5\ldots 5}_{n}- \underbrace{9\ldots 9}_{n}$

ovat neliöitä (jonkin positiivisen kokonaisluvun toisia potensseja).

2. Osoita, että

a) $\underbrace{1\ldots 1}_{n}\cdot\underbrace{1\ldots 1}_{n} \underbrace{2\ldots 2}_{n}\underbrace{1\ldots 1}_{n}\,$ ,

b) $\underbrace{1\ldots 1}_{n}\cdot\underbrace{4\ldots 4}_{n} \underbrace{1\ldots 1}_{n}$ ja

c) $\underbrace{1\ldots 1}_{n}\cdot\underbrace{9\ldots 9}_{n} \underbrace{6\ldots 6}_{n}\underbrace{1\ldots 1}_{n}$

ovat neliöitä. 3. Luku a0bb, missä $a,b = 0,1,2,\ldots,9$ ja $a\neq 0$ , on jaollinen 12:lla ja jos sen jakaa luvulla 11, on jakojäännös 10. Ratkaise a0bb.

4. Sievennä

$\begin{displaymath}\begin{split} &111\cdot(1\underbrace{0\ 0}_{2}1\underbrace{0\... ...ldots 0}_{3^n-1}1\underbrace{0\ldots 0}_{3^n-1}1). \end{split}\end{displaymath}$

5. Ratkaise kaikki kaksinumeroiset luvut, jotka ovat jaollisia numeroidensa neliöiden summalla. (Esimerkki: 10 on jaollinen luvulla 1²+0²=1.)

Vihjeeksi seuraaviin tehtäviin: Kummassakin käytetään kongruensseja sekä Fermat'n ja Eulerin tulosta, jonka mukaan

$\begin{displaymath}a^{\varphi(n)}\equiv 1\,(\text{mod}\,n) \end{displaymath}$

aina kun lukujen a ja n suurin yhteinen tekijä on 1. Tässä $\varphi$ on Eulerin $\varphi$ -funktio, jonka arvo $\varphi(n)$ on niiden lukujen $m\in\{1,\ldots,n\}$ lukumäärä, joille $\text{syt}\,(n,m)=1$ . Entisessä Neuvostoliitossa tämäntyyppisiä tehtäviä ratkaistiin Koululaisten olympialaisissa.

6. Osoita, että luku $2\underbrace{000\ldots 0}_{1997}1998$ on jaollinen luvulla 1999.

7. Ratkaise luvun 4^5⁴⁵ kolme viimeistä numeroa.

Tehtävien ratkaisut.

Djemil Mamedjarov

Matematiikkalehti Solmu
2000-11-14