Rahoituksen matematiikkaa

Johdanto

Käsitellään yksinkertaista osakemarkkinoiden mallia. Esimerkin avulla osoitetaan kuinka eräs optio-sopimus voidaan hinnoitella yksikäsitteisesti. Hinnoittelu perustuu suojaukseen, joka on keskeinen käsite finanssimatematiikassa.

Suojaus löydetään ratkaisemalla kahden tuntemattoman yhtälöryhmä. Saadulle ratkaisulle esitetään lopuksi todennäköisyystulkinta.

Esimerkki

Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä, jossa telakka saa vuoden 1999 alussa tilauksen laivasta, joka maksetaan sen valmistuttua vuoden 2001 alussa. Kaupan hinnaksi sovitaan miljardi dollaria.

Oletetaan, että dollarin ja markan välinen kurssi vuoden 1999 alussa on viisi markkaa ja kaupan hinta on laskettu tällä kurssilla. Sopimuksen perusteella telakka saa maksun vasta vuoden 2001 alussa, jolloin dollarin kurssi voi olla joko noussut tai laskenut. Etenkin, jos kurssi laskee, niin telakka voi joutua vaikeuksiin, koska se on laskenut voivansa käyttää tilauksen valmistamiseen viisi miljardia markkaa.

Voiko dollarin kurssin heilahteluihin varautua etukäteen? Jatkossa näytetään, että tämä on mahdollista ja lasketaan, mitä tämä riskiltä suojautuminen maksaa.

Varallisuus, osake ja talletus

Jokainen henkilö voi jakaa varallisuutensa V kahteen osaan: osakkeisiin ja talletuksiin. Osake on itse asiassa yleisnimi, jolla tarkoitetaan finanssimatematiikassa tavallista osaketta, valuuttakurssia, raaka-aineiden hintaa; ylipäätään mitä tahansa sellaista, mitä voidaan ostaa ja myydä ja minkä hinta huomenna on tuntematon. Talletuskin on yleisnimi, millä puolestaan tarkoitetaan kaikkea sellaista, minkä arvo huomenna voidaan laskea, kun tunnetaan sen arvo tänään. Esimerkkejä talletuksesta ovat pankkitalletukset ja obligaatiot.

Tarkastellaan yhden askeleen mallia, missä on ainostaan kaksi erilaista ajankohtaa: nykyisyys ja huominen; merkitään aikaa indeksillä t, joka siis saa vain kaksi arvoa t = 0 (nykyisyys) ja t = 1(huominen).

Talletusta merkitään kirjaimella B ja osaketta kirjaimella S. Varallisuutta V, osaketta S ja talletusta Btarkastellaan ajan funktiona -- tällöin merkitään V₀, kun tarkoitetaan varallisuutta tänään, S₁ kun tarkoitetaan osakkeen hintaa huomenna jne. Talletuksen arvo tänään on B₀ = 1.

Alkupääomaksi sanotaan varallisuutta V₀. Päivän aikana päätetään talletuksen määrä ja osakkeiden määrä, mutta alkupääomaa ei enää muuteta: yhtälöiden avulla kirjoitettuna siis V₀ = $\beta_{1}^{}$ B₀ + $\gamma_{1}^{}$ S₀.Pari $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ on strategia: finanssimatematiikassa tutkitaankin sitä, kuinka tämä pari pitäisi valita. Vakio $\beta_{1}^{}$ kertoo talletuksen määrän ja $\gamma_{1}^{}$ puolestaan kertoo osakkeiden määrän. Varallisuus huomenna voidaan nyt kirjoittaa yhtälönä

V₁ = $\displaystyle \beta_{1}^{}$ B₁ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ S₁

(1)

Luvut $\beta_{1}^{}$ ja $\gamma_{1}^{}$ voivat olla myös negatiiviset, mutta varallisuudesta oletetaan, että se on aina ei-negatiivinen.

Markkinamalli

Oletetaan, että markkinoilla on yksi osake ja sen hinta on S_t, t = 0, 1; sitä voi ostaa kuinka paljon tahansa, myös paloja. Talletuksesta oletetaan samaa: voidaan siis ostaa 100^. $\pi$ kappaletta osakkeita ja ottaa ostamiseen velkaa pankista 100^. $\pi$ S₀ markkaa! Edelleen osakkeita voi myydä lyhyesti, eli myydään osake, jota ei vielä itse omisteta: tämä tarkoittaa sitä, että $\gamma_{1}^{}$ voi olla myös negatiivinen luku.

Osakkeen hinta S_t voi huomenna olla joko laskenut, S₁ = (1 + a)S₀, tai noussut S₁ = (1 + y)S₀. Tuntematonta on siis huominen arvo, tunnettua puolestaan on se, että osakkeen arvo on joko (1 + a)S₀ tai (1 + y)S₀. Talletuksen "hinta" taas kasvaa kiinteätä korkoa ja sen arvo huomenna on B₁ = (1 + r)B₀, jos sen arvo tänään on B₀. Kun korko r tunnetaan, tiedetään myös talletuksen arvo huomenna. Talletus voi olla myös negatiivinen -- velasta siis maksetaan samaa korkoa kuin pankissa olevasta rahastakin.

Markkinoilla tehdään sopimuksia osakkeeseen liittyen. Esimerkkinä tarkastellaan eurooppalaista osto-optiota, missä sopimuksen ostajalla on oikeus ostaa osake huomenna tiettyyn kiinteään hintaan K. Sopimuksen myyjä puolestaan on velvollinen myymään osakkeen hintaan K. Myyjän kannalta tilanne on seuraava:

a: Jos S₁ < K, niin sopimus on ostajalle arvoton, koska osakkeen hinta on sovittua hintaa K pienempi. Myyjän tappio huomenna on siis = 0.
y: Jos S₁ > K, niin sopimuksen arvo on S₁ - K, ja ostajan kannattaa ostaa osake hinnalla K ja myydä se välittömästi hinnalla S₁. Taskuun jää rahaa S₁ - K markkaa, joka on myös myyjän tappio.

Kaavana myyjän tappio tai vaade on f (S₁) $\doteq$ max(S₁ - K, 0). Mikä on option arvo tänään? Tunnettuja ovat osakkeen hinta S₀, lyhyt korko r ja osakkeen mahdolliset arvot huomenna.

Osakkeen arvon kasvusta, lyhyestä korosta rja toimeenpanohinnasta K oletetaan

a < r < y ja (1 + a)S₀ < K < (1 + y)S₀.

(2)

Vakio a on yleensä negatiivinen: a < 0.

Suojaus

Eurooppalaisen osto-option arvo määrätään hakemalla ns. suojaus. Haetaan strategia ( $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ ) siten, että varallisuus huomenna on yhtä suuri kuin mahdollinen tappio:

V₁ = $\displaystyle \beta_{1}^{}$ B₁ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ S₁ = max(S₁ - K, 0).

Kun muistetaan, että B₀ = 1, saadaan yhtälöryhmä

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ (1 + r) + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ S₀(1 + a)	=	0
$\displaystyle \beta_{1}^{}$ (1 + r) + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ S₀(1 + y)	=	(1 + y)S₀ - K.	(3)

Yhtälöryhmässä (3) on kaksi tuntematonta $\beta_{1}^{}$ ja $\gamma_{1}^{}$ ja kaksi yhtälöä. Oletuksesta (2) seuraa, että ratkaisuksi saadaan

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ = - $\displaystyle {\frac{\left( 1+a\right)\left( \left( 1+y\right) S_0 -K \right) }{\left( y-a\right) \left( 1+r\right) }}$ ja $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ = $\displaystyle {\frac{\left( 1+y\right) S_0-K }{\left( y-a\right) S_0 }}$ .

Se alkupääoma V₀, millä suojaus on mahdollista, saadaan kaavasta V₀ = $\beta_{1}^{}$ B₀ + $\gamma_{1}^{}$ S₀:

V₀ = $\displaystyle {\frac{\left(\left( 1+y\right) S_0-K\right) \left(r-a\right) }{\left(y-a\right)\left(1+r\right) }}$ .

(4)

Jos option myyjä asettaa hinnaksi alkupääoman V₀ yhtälöstä (4), niin hän ei kärsi tappiota huomenna. Toisaalta ostaja tietää, että myyjä ei myöskään saa ylimääräistä voittoa tällä hinnalla! Näin määriteltyä hintaa sanotaankin tasapuoliseksi hinnaksi.

Tarkastellaan tähän tulokseen liittyviä oletuksia. Oletus (2) on melko luonnollinen. Jos r < a < y, niin osakkeen hinta kasvaisi aina talletusta nopeammin, ja tällöin kannattasi ottaa pankista vaikka sata miljoonaa velkaa, sijoittaa ne kaikki osakkeeseen ja myydä osakkeet huomenna ja varma voitto olisi vähintään 10⁸(a - r) markkaa. Jos taas K < S₀(1 + a), niin osto-option myyjän tulisi aina varautua tappioon -- tosin hinta voidaan kyllä tässäkin tapauksessa optiolle määrätä.

Oletus siitä, että osakkeen hinta voi huomenna saada kaksi eri arvoa on puolestaan aivan oleellinen yllä esitetylle suojauksen konstruoinnille. Siitä seuraa, että kaikki sopimukset ovat suojattavissa -- tällöin sanotaan että markkinamalli on täydellinen. Mikäli hinta voisi muuttua kolmeen eri arvoon, niin yhtälöryhmällä (3) ei enää ole yksikäsitteistä ratkaisua ja suojausta ei enää voi konstruoida. Saadaan esimerkki epätäydellisestä markkinamallista, missä tasapuolista hintaa ei ole. Erilaiset epätäydelliset markkinamallit ovat tällä hetkellä finanssimatematiikan keskeisiä tutkimuskohteita.

Esimerkki

Jatketaan esimerkin käsittelyä. Oletetaan, että dollarin kurssi voi vuoden 2001 alussa olla joko 4, 80 markkaa tai 5, 20 markkaa ja että korko kahden vuoden aikana on kaksi prosesenttia. Telakka haluaa tehdä sopimuksen, jonka perusteella se saa ostaa miljardilla dollarilla markkoja hintaan viisi markkaa dollari. Tavoitteena on suojautua dollarin hinnan putoamista vastaan.

Lasketaan kaavan (4) perusteella suojaussopimuksen hinta yhdelle dollarille. Ratkaistaan ensin vakiot y ja a: (1 + y)5 = 5, 20 mistä vakion y arvoksi saadaan 0, 04 ja vakion a arvoksi vastaavasti -0, 04. Korko r on = 0, 02. Tarkastelujakso on siis kaksi vuotta. Kaavasta (4) saadaan nyt sopimuksen hinnaksi

$\displaystyle {\frac{(5{,}2-5)(0{,}02+0{,}04)}{0{,}08\cdot 1{,}02}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{34}}$ $\displaystyle \approx$ 0, 147.

Miljardin dollarin suojaaminen maksaa siis noin 147 miljoonaa markkaa.

Verrataan tilannetta siihen, että suojausta ei tehdä: jos dollarin hinta nousee, saadaan voittoa 200.000.000 markkaa, jos putoaa, niin tappiota tulee saman verran. Jos suojaus tehdään, niin voittoa tulee noin 53.000.000 markkaa ja tappiota tulee sopimuksen hinnan verran eli noin 147.000.000 markkaa. Etuna on tietenkin se, että kahden vuoden kuluttua ei enää ole mitään riskiä ja telakka voi suunnitella toimintaansa varmana siitä, että dollarin kurssin heilahtelu ei aiheuta uusia lisäkuluja.

Todennäköisyystulkinta

Olkoon $\rho$ satunnaismuuttuja, joka saa arvon y todennäköisyydellä p, ja arvon a todennäköisyydellä 1 - p ja Y satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, jos $\rho$ = y ja arvon 0, jos $\rho$ = a. Tällöin

S₁ = (1 + $\displaystyle \rho$ )S₀ = (1 + y)^Y(1 + a)^{1 - Y}S₀;

(5)

satunnaismuuttuja $\rho$ on siis satunnainen korko. Vaihdetaan nyt todennäköisyys p todennäköisyydeksi q siten, että

E_qS₁ = S₀(1 + r),

(6)

missä E_q tarkoittaa odotusarvoa, kun $\rho$ saa arvon ytodennäköisyydellä q. Yhtälön (6) avulla saadaan yhtälö

S₀(1 + y)q + S₀(1 + a)(1 - q) = S₀(1 + r)

jonka ratkaisu on q = ${\dfrac{r-a}{y-a}}$ . Saatua todennäköisyyttä qsanotaan riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. Todennäköisyyden q suhteen laskettu osakkeen keskimääräinen tuotto on sama kuin talletuksen.

Osoitetaan lopuksi, että option myyjän diskontattu tappio huomenna on sama kuin käsiteltävän option tasapuolinen hinta:

(1 + r)^-1E_q(max(S₁ - K, 0)) = $\displaystyle {\frac{\left(\left( 1+y\right) S_0-K\right) \left(r-a\right) }{\left(y-a\right)\left(1+r\right) }}$ .

Tämä seuraa siitä, että

E_q(max(S₁ - K, 0)) = q((1 + y)S₀ - K) = $\displaystyle {\frac{r-a}{y-a}}$ ((1 + y)S₀ - K).

Yhteenveto

Yllä käsitelty markkinamalli on monessa mielessä epärealistinen. Yleensä osakekauppaan liittyy sivukuluja: kaupan välittäjä ottaa yleensä palkkion. Edelleen pankkitalletuksen korko on pienempi kuin velan korko. Lainsäädäntökin saattaa olla esteenä: osakkeiden lyhytmyynti oli Suomessa kiellettyä vielä kymmenen vuotta sitten. Kuitenkin yllä kuvatun yhden askeleen mallin yleistystä useamman askeleen malliksi, ns. binomipuuta, käytetään melko yleisesti erilaisten optioiden hinnoitteluun.

Johdannon tähän kiehtovaan ongelmakenttään löytää Stanley R. Pliskan kirjasta Introduction to Mathematical Finance -- Discrete time models, Blackwell 1997.

Esko Valkeila

Solmu 2/1998-1999
Last modified: Sun Jan 24 22:00:18 EET 1999