Ellipsi on tapana määritellä käyräksi - tai oikeastaan pistejoukoksi - jonka jokaisella pisteellä on seuraava ominaisuus: jos lasketaan ellipsin pisteen etäisyydet kahdesta kiinteästä pisteestä ja muodostetaan näiden summa, niin tulos on vakio, so. riippumaton siitä, mikä ellipsin piste on kyseessä.
Kiinteitä pisteitä kutsutaan ellipsin polttopisteiksi.
Jos polttopisteet sijoitetaan xy-tason pisteisiin (c,0) ja (-c,0) ja merkitään etäisyyksien vakiosummaa 2a, saadaan ellipsin yhtälöksi x2/a2 + y2/b2 = 1, missä on merkitty b2 = a2 - c2. Tämän johtaminen on hyvä analyyttisen geometrian harjoitustehtävä; suosittelen lukijalle.
Toisaalta ellipsin sanotaan olevan myös kartioleikkaus. Muita kartioleikkauksia ovat paraabeli ja hyperbeli, joihin en tässä lähemmin puutu, vaikka ne voisikin käsitellä samaan tapaan.
Ajateltakoon suoraa ympyräkartiota (kuva 1). Tämän voi ajatella syntyvän seuraavasti: Olkoon annettuna ympyräviiva ja kiinteä piste - kartion huippu. Tämä sijaitkoon sellaisella ympyrän tason normaalilla, joka kulkee ympyrän keskipisteen kautta. Jos suora liikkuu siten, että se kaiken aikaa kulkee huipun kautta ja tukeutuu ympyräviivaan, syntyy kartiopinta. Itse asiassa kyseessä on kaksihaarainen kartiopinta suoran äärettömästä pituudesta johtuen: symmetriset kartiomaiset osat huipun kummallakin puolella.
Liikkuvalla suoralla on tietty kaltevuus ympyrän tasoon nähden. Leikataan kartiota tasolla, jonka kaltevuus on tätä pienempi (kuva 2). On osoitettavissa, että leikkauskäyrä on tällöin ellipsi ja nimitys kartioleikkaus on siis perusteltu. (Sivuhuomautuksena: Jos liikkuvan suoran ja leikkaavan tason kaltevuus on sama, niin leikkauskäyrä on paraabeli; jos tason kaltevuus on suurempi, niin hyperbeli.)
Leikkauskäyrän todistaminen ellipsiksi sujuu varsin helposti käyttämällä apuna ns. Dandelinin palloja (belgialainen matemaatikko ja insinööri, mm. Napoleonin armeijassa taistellut Germinal Pierre Dandelin, 1794-1847; ks. lähemmin St. Andrewsin yliopiston History of Mathematics -arkistosta. Palloja on kaksi ja ne sijoitetaan ympyräkartion sisään leikkaavan tason eri puolille siten, että ne sivuavat kartiopintaa (kumpikin pitkin ympyräviivaa) ja koskettavat leikkavaa tasoa (kumpikin yhdessä pisteessä). Kosketuspisteet olkoot F1 ja F2, sivuamisympyrät c1 ja c2 (kuva 3; suurempi kuva).
Olkoon nyt P jokin ellipsiksi väitetyn leikkauskäyrän piste. Tämän ja kartion huipun K kautta kulkeva suora (joka sijaitsee kartiopinnalla) leikatkoon ympyrät c1 ja c2 pisteissä A1 ja A2.
Todistuksen tarvikkeet ovat nyt käsillä. Väitteenä on, että etäisyyksien summa |PF1| + |PF2| on riippumaton pisteen P sijainnista leikkauskäyrällä, jolloin leikkauskäyrä alussa esitetyn määritelmän mukaan on ellipsi polttopisteinä F1 ja F2. Loppu todistuksesta jääköön lukijan tehtäväksi.
Ohjeeksi seuraavaa:
Simo K. Kivelä
